Tarte (matematika)

Matematikan, tartea (erreala) zenbaki errealen multzo bat da, propietate hau betetzen duena: tarteko edozein bi zenbakiren artean dagoen zenbakia ere tartearen barnean dago.

Adibidez, $0\le x\le 1$ betetzen duten zenbaki guztien multzoa $0$ eta $1$, eta bitarteko zenbaki guztiak barnean hartzen dituen tartea da. Beste tarte bat $ℝ$ da, zenbaki erreal guztien multzoa alegia eta baita multzo hutsa.

Notazioa

$a$ eta $b$ arteko zenbakien tartea, $a$ eta $b$ barnean hartuz, $[a,b]$ eran adierazten ohi da. $a$ eta $b$ tartearen muturrak dira.

Muturrak kanpoan uzten

Muturren bat multzotik kanpo dagoela adierazteko, idazle batzuek kako zuzenaren ordez parentesia erabiltzen dute. Orduan, honela adierazten dugu:

$\begin{array}{cc}(a,b)& =\{x\in ℝ|a<x<b\},\\ [a,b)& =\{x\in ℝ|a\le x<b\},\\ (a,b]& =\{x\in ℝ|a<x\le b\},\\ [a,b]& =\{x\in ℝ|a\le x\le b\}.\end{array}$

Oharra: $(a,a)$, $[a,a)$, eta $(a,a]$ multzo hutsa adierazten dute, $[a,a]$ , berriz, $\{a\}$ ale bakarreko multzoa da.

ISO notazioa

Nazioarteko estandarrak ISO 31-11 tarteetarako beste notazio bat ere definitzen du. Notazio horrek kako zuzenak baino ez ditu erabiltzen muturrak barruan ala kanpoan dauden adierazteko, honela:

$\begin{array}{cc}]a,b[& =\{x|a<x<b\},\\ [a,b[& =\{x|a\le x<b\},\\ ]a,b]& =\{x|a<x\le b\},\\ [a,b]& =\{x|a\le x\le b\}\end{array}$

Sailkapena

Tarteak sailkatzeko bi irispide jarrai ditzakegu: ezaugarri topologikoen arabera (tarte irekiak, itxiak eta erdiirekiak edo erdiitxiak) edo ezaugarri metrikoen arabera (luzera: nulua, finitua ez nulua, edo infinitua).

Hona hemen kasu guztiak, non a ≤ b, x tarteko puntu bat, eta l tartearen luzera diren:

Notazioa	Tartea	Luzera (l)	Deskripzioa
$[a,b]$	$a\le x\le b$	$b-a$	Luzera finituko tarte itxia.
$[a,b[\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{o}[a,b)$	$a\le x<b$	$b-a$	Tarte itxia a puntuan, irekia b puntuan (erdiitxia, erdiirekia).
$]a,b]\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{o}(a,b]$	$a<x\le b$	$b-a$	Tarte irekia a puntuan, itxia b puntuan.
$]a,b[\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{o}(a,b)$	$a<x<b$	$b-a$	Tarte irekia.
$]-\mathrm{\infty },b[\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{o}(-\mathrm{\infty },b)$	$x<b$	$\mathrm{\infty }$	Tarte (erdi) irekia.
$]-\mathrm{\infty },b]\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{o}(-\mathrm{\infty },b]$	$x\le b$	$\mathrm{\infty }$	Tarte (erdi) itxia.
$[a,\mathrm{\infty }[\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{o}[a,\mathrm{\infty })$	$x\ge a$	$\mathrm{\infty }$	Tarte (erdi) itxia.
$]a,\mathrm{\infty }[\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{o}(a,\mathrm{\infty })$	$x>a$	$\mathrm{\infty }$	Tarte (erdi) irekia.
$]\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }[\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{o}(\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$	$x\in ℝ$	$\mathrm{\infty }$	Aldi berean tarte irekia eta itxia.
$\{a\}$	$x=a$	$0$	luzera nuluko tarte itxia. Ale bakarreko multzoa da.
$\{\}=\mathrm{\varnothing }$	x ez da existitzen	Luzerarik gabe	Multzo hutsa.

Kanpo estekak

• Tarteen oinarrizko notazioa
• Tarteen notazioa
• Tartea