ISO 31-11

ISO 31-11 ISO 31 nazioarteko estandarraren parte bat zen, zeinean «matematikako zeinuak eta sinboloak definitzen diren, zientzia fisikoetan eta teknologian erabil daitezen». Geroago, 2009an, ISO 80000-2 nazioarteko estandarrak ordeztu zuen ISO 31-11 araua.

Logika matematikoa

Zeinua	Adibidea	Izena	Esanahia eta ahozko irakurbidea	Oharrak
∧	p ∧ q	konjunkzio-zeinua	p eta q
∨	p ∨ q	disjunkzio-zeinua	p edo q (edo biak)
¬	¬ p	ukazio-zeinua	p-ren ukazioa ez p
⇒	p ⇒ q	inplikazio-zeinua	baldin p, orduan q p izateak q izatea dakar	Honela ere idatz daiteke: q ⇐ p. Batzuetan → erabiltzen da.
∀	∀x∈A p(x)(∀x∈A) p(x)	kuantifikatzaile unibertsala	edozein x A-ren barnekoa izanik, p(x) proposizioa egiazkoa da	"∈A" hori ezabatu egin daiteke, A-ren esanahia argia bada testuinguruz.
∃	∃x∈A p(x)(∃x∈A) p(x)	kuantifikatzaile existentziala	existitzen da A-ren barnekoa den x balio bat p(x) proposizioa egiazkoa egiten duena	"∈A" hori ezabatu egin daiteke, A-ren esanahia argia bada testuinguruz. ∃! erabiltzen da, x bakarra dagoenean p(x) egiazkoa egiten duena.

Multzoak

Zeinua	Adibidea	Esanahia eta ahozko irakurbidea	Oharrak
∈	x ∈ A	x elementua A multzoaren barnekoa da; x elementua A multzokoa da; x barne A
∉	x ∉ A	x elementua ez da A multzoaren barnekoa x ez-barne A	Ukazioa adierazten duen barra bertikala izan daiteke.
∋	A ∋ x	A multzoak x elementua dauka bere barnean	x ∈ A adierazpenak bezalako esanahia
∌	A ∌ x	A multzoak ez dauka x elementua bere barnean	x ∉ A adierazpenak bezalako esanahia
{ }	{x₁, x₂, ..., x_n}	bere barnean x₁, x₂, ..., x_n elementuak dauzkan multzoa	Honela ere idatz daiteke: {x_i ∣ i ∈ I}, non I sinboloak indizeen multzo bat adierazten duen.
{ ∣ }	{x ∈ A ∣ p(x)}	A multzokoak izanik p(x) proposizioa egiazkoa egiten duten elementuen multzoa	Adibidea: {x ∈ ℝ ∣ x > 5} Testuinguruan argi badago, ∈A sinboloa ezabatu egin daiteke.
card	card(A)	zenbat elementu dauden A multzoan; A multzoaren kardinala
∖	A ∖ B	A eta B multzoen arteko kendura; A minus B	A multzokoak bai, baina B multzokoak ez diren elementuak A ∖ B = { x ∣ x ∈ A ∧ x ∉ B } Ez da erabili behar A − B idazkera.
∅		multzo hutsa, elementurik ez daukana
ℕ		zenbaki naturalen multzoa; zenbaki oso positiboak eta zero zenbakia daude bertan	ℕ = {0, 1, 2, 3, ...} Zero kontuan hartzen ez bada, asterisko bat gehitzen: ℕ^* = {1, 2, 3, ...} ℕ_k = {0, 1, 2, 3, ..., k − 1}
ℤ		zenbaki osoen multzoa	ℤ = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} ℤ^* = ℤ ∖ {0} = {..., −3, −2, −1, 1, 2, 3, ...}
ℚ		zenbaki arrazionalen multzoa	ℚ^* = ℚ ∖ {0}
ℝ		zenbaki errealen multzoa	ℝ^* = ℝ ∖ {0}
ℂ		zenbaki konplexuen multzoa	ℂ^* = ℂ ∖ {0}
[,]	[a,b]	ℝ multzoko tarte itxia, a elementutik b elementura doana, biak barnean hartuta	[a,b] = {x ∈ ℝ ∣ a ≤ x ≤ b}
],] (,]	]a,b] (a,b]	ezkerretik irekitako tartea ℝ multzoan, a kanpoan eta b barnean	]a,b] = {x ∈ ℝ ∣ a < x ≤ b}
[,[ [,)	[a,b[ [a,b)	eskuinetik irekitako tartea ℝ multzoan, a barruan eta b kanpoan	[a,b[ = {x ∈ ℝ ∣ a ≤ x < b}
],[ (,)	]a,b[ (a,b)	open interval in ℝ from a (excluded) to b(excluded) tarte irekia ℝ multzoan, a eta b kanpoan	]a,b[ = {x ∈ ℝ ∣ a < x < b}
⊆	B ⊆ A	B multzoa A multzoaren barnean dago; B multzoa A-ren azpimultzoa da	B multzoaren elementu guztiak A-ren barnean daude; ⊂ sinboloa ere erabiltzen da
⊂	B ⊂ A	B multzo osoa dago "garbiki" A-ren "barnean"; B multzoa A-ren azpimultzoa da	B-ren elementu guztiak daude A-ren barnean, baina B ez da A-ren berdina. Baldin ⊂ sinboloa erabiltzen bada "barnean" dagoela esateko, orduan ⊊ erabili behar da, "garbiki barruan" dagoela adierazteko.
⊈	C ⊈ A	C multzoa ez dago A multzoaren barneean; C ez da A-ren azpimultzoa	⊄ sinboloa ere erabiltzen da.
⊇	A ⊇ B	A multzoak bere barnean dauka B multzoa (azpimultzo gisa)	A multzoak B-ren elementu guztiak dauzka bere barnean; ⊃ sinboloa ere erabiltzen da. B ⊆ A eta A ⊇ B idazkerak baliokideak dira.
⊃	A ⊃ B.	A bere barnean dauka B multzoa "garbiki".	A multzoak B-ren elementu guztiak dauzka bere barnean, baina A eta B ez dira berdinak. Baldin ⊃ "barnean" adierazteko erabiltzen bada, orduan, ⊋ "garbiki barnean" adierazteko erabiltzen da.
⊉	A ⊉ C	A multzoak ez dauka bere barnean C multzoa (hau ez da haren azpimultzoa)	Halaber erabiltzen da ⊅ sinboloa: A ⊉ C eta C ⊈ A adierazpenek gauza bera esan nahi dute.
∪	A ∪ B	A eta B multzoen bildura	A edo B multzoetako baten barnean dauden elementuen multzoa, edo aldi berean A-ren eta B-ren barnean A ∪ B = { x ∣ x ∈ A ∨ x ∈ B }
∪	$⋃_{i = 1}^{n} A_{i}$	multzo sorta baten bildura	$⋃_{i = 1}^{n} A_{i} = A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup A_{n}$ horrek esan nahi du gutxienez $A_{1}, . . ., A_{n}$ sortako multzoren baten barnean dauden elementuak hartzen dituela bldurak
∩	A ∩ B	A eta B multzoen ebakidura	Aldi berean A eta B multzoen dauden elementuen multzoa. A ∩ B = { x ∣ x ∈ A ∧ x ∈ B }
⋂	$⋂_{i = 1}^{n} A_{i}$	multzo sorta baten ebakidura	, $⋂_{i = 1}^{n} A_{i} = A_{1} \cap A_{2} \cap \dots \cap A_{n}$ horrek esan nahi du $A_{1}, . . ., A_{n}$ sortako multzo guztien barnean dauden elementuak biltzen dituela ebakidurak.
∁	∁_AB	A-ren barneko B azpimultzoaren multzo osagarria	A multzokoak izanik B azpimultzokoak ez diren elementuen multzoa. Batzuetan, testuinguruan argi badago, ez da idazten A sinboloa. ∁_AB = A ∖ B eran ere idazten da
(,)	(a, b)	a, b bikote ordenatua; a, b bikotea	(a, b) = (c, d) izango da, balbin eta soilik baldin a = c eta b = d badira; ⟨a, b⟩ eran ere idazten da.
(,…,)	(a₁, a₂, …, a_n)	n-kote ordenatua	⟨a₁, a₂, …, a_n⟩ eran ere idazten da.
×	A × B	A eta B multzoen arteko biderketa kartesiarra	(a, b) bikote ordenatuen multzoa, non a ∈ A eta b ∈ B diren. A × B = { (a, b) ∣ a ∈ A ∧ b ∈ B } A × A × ⋯ × A adierazteko Aⁿ idatzi ohi da, non n horrek elkarrekin biderkatu beharreko faktoreen kopurua adierazten duen.
Δ	Δ_A	(a, a) ∈ A × A erako bikoteen multzoa, non a delakoa A × A multzoko diagonala den.	Δ_A = { (a, a) ∣ a ∈ A } id_A eran ere adierazten da.

Denetariko zeinu eta sinboloak

HEMENDIK ITZULTZEKO DAGO (aste honetan egingo dut)

Zeinua	Adibidea	Esanahia edo hitzezko irakurbidea	Oharrak
≝	a ≝ b	a definizioz da b-ren berdina; a definizioz berdin b	:= idazkera ere erabiltzen da.
=	a = b	a berdin b	≡ ere idatz daiteke berdintza jakin bat identitatea dela azpimarratzeko.
≠	a ≠ b	a ezberdin b	$a \equiv̸ b$ ere idatz daiteke a eta b identikoki berdinak ez direla azpimarratzeko.
≙	a ≙ b	a dagokio b-ri	1:10⁶ eskalako mapa batean: 1 cm ≙ 10 km.
≈	a ≈ b	a eta b gutxi gorabehera berdinak dira; a gutxi gorabehera b	Bestalde, ≃ sinboloa "asintotikoki berdina" adierazteko erabiltzen da.
∼ ∝	a ∼ b a ∝ b	a balioa b-ren proportzionala da; a proportzional b
<	a < b	a txikiago b
>	a > b	a handiago b
≤	a ≤ b	a txikiago edo berdin b	≦ sinboloa ere erabiltzen da.
≥	a ≥ b	a handiago edo berdin b	≧ sinboloa ere erabiltzen da.
≪	a ≪ b	a askoz txikiago b
≫	a ≫ b	a askoz handiago b
∞		infinitu
$()$ $[]$ ${}$ $⟨ ⟩$	$(a + b) c$ $[a + b] c$ ${a + b} c$ $⟨ a + b ⟩ c$	parentesiak parentesi karratuak kortxeteak kortxete angeludunak	Oinarrizko aljebran habiaratzeko erabiltzen den $()$ , $[]$ , ${}$ eta $⟨ ⟩$ sekuentzia ez dago estandarizaturik. Bestalde, zenbait arlotan $(), [], {} eta ⟨ ⟩$ sinboloek erabilera bereziak dituzte
$∥$	AB $∥$ CD	AB eta CD lerroak elkarren paraleloak dira; AB paralelo CD
$⊥$	AB $⊥$ CD	AB eta CD lerroak elkarren perpendikularrak dira; AB perpendikular CD

Eragiketak

Zeinua	Adibidea	Esanahia edo hitzezko irakurbidea	Oharrak
+	a + b	a gehi b
−	a − b	a ken b
±	a ± b	a gehi edo ken b
∓	a ∓ b	a ken edo gehi b	−(a ± b) = −a ∓ b
...	...	...	...
⋮

Funtzioak

Adibidea	Esanahia edo hitzezko irakurbidea	Oharrak
$f : D \to C$	f funtzioak D barrutia dauka eta C da haren irudi-multzoa	Horrela definitzen dira esplizituki funtzio baten barrutia eta irudi-multzoa
$f (S)$	${f (x) ∣ x \in S}$	f-ren barrutiko S azpimultzoaren irudi izan daitezkeen irteera posible guztien multzoa.
⋮

Funtzio esponentzial eta logaritmikoak

Adibidea	Esanahia edo hitzezko irakurbidea	Oharrak
e	logaritmo naturalen oinarria	e = 2.718 28...
e^x	x-ren e-oinarriko funtzio esponentziala; e esponentzial ixa; e ber ixa
log_ax	x-ren logaritmoa a-oinarrian; logaritmo a-oinarrian ixa
lb x	x-ren logaritmo bitarra; logaritmo bitar ixa	lb x = log₂x
ln x	x-ren logaritmo natural; logaritmo natural ixa	ln x = log_ex
lg x	x-ren logaritmo arrunta (10-oinarrian); logaritmo arrunt ixa	lg x = log₁₀x
...	...	...
⋮

Funtzio zirkular eta hiperbolikoak

Adibidea	Esanahia edo hitzezko irakurbidea	Oharrak
π	zirkulu baten zirkunferentziaren luzeraren eta beraren diametroaren arteko zatidura edo arrazoia	π = 3.141 59...
...	...	...
⋮

Zenbaki konplexuak

Adibidea	Esanahia edo hitzezko irakurbidea	Oharrak
i j	unitate irudikaria; i² = −1	Elektroteknian j letra erabili ohi da.
Re z	z zenbaki konplexuaren parte erreala	z = x + iy, non x = Re z eta y = Im z diren
Im z	z zenbaki konplexuaren parte irudikaria	z = x + iy, non x = Re z eta y = Im z diren
∣z∣	z zenbaki konplexuaren balio absolutua; z-ren modulua	mod z idazkera ere erabiltzen da.
arg z	z-ren argumentua; z-ren fasea	z = re^iφ, non r = ∣z∣ eta φ = arg z diren. Re z = r cos φ Im z = r sin φ
z^*	z-ren konjugatua (zenbaki konjugatua)	Batzuetan barra bat jartzen da gainean, z^* erabili ordez
sgn z	z-ren zeinua	sgn z = z / ∣z∣ = exp(i arg z) for z ≠ 0, sgn 0 = 0

Matrizeak

Example	Esanahia edo hitzezko irakurbidea	Remarks
A	A matrizea	...
...	...	...
⋮

Koordinatu-sistemak

Koordinatuak	Posizio-bektorea eta beraren diferentzialak	Koordinatu-sistemaren izena	Oharrak
x, y, z	(x, y, z); (dx, dy, dz)	sistema kartesiarra	Halaber erabiltzen da (x₁, x₂, x₃) idazkera koordinatuentzat eta (e₁, e₂, e₃) bektore unitarioentzat. Notazio hau erra orokortzen da espazio n-dimentsinalez kasurako. Bestalde, (e_x, e_y, e_z) idazkerak eskuin-eskuko sistema adierazten du. Bektore unitarioak adierazteko, (i, j, k) idazkera ere erabiltzen da.
ρ, φ, z	(x, y, z) = (ρ cosφ, ρ sinφ, z)	sistema zilindrikoa	Kasu honetan, [e_ρ(φ), e_φ(φ), e_z] eskuin-eskuko sistema ortonormala da. Baldi z = 0 bada, orduan ρ eta φ koordinatu polarrak dira.
r, θ, φ	(x, y, z) = r [sinθ cosφ, sinθ sinφ, cosθ)	sistema esferikoa	[e_r(θ,φ), e_θ(θ,φ),e_φ(φ)] eskuin-eskuko sistema ortonormala da.

Bektoreak eta tentsoreak

Adibidea	Esanahia edo hitzezko irakurbidea	Oharrak
a	a bektorea	Letrakera etzan eta lodia erabili ordez,bektoreak letraren gainean jarritako gezi batez ere adieraz daitezke: $\vec{a}$ . Edozein bektore biderkatu egin daiteke eskalar batez; adibidez: ka.
...	...	...
⋮

Funtzio bereziak

Adibidea	Esanahia edo hitzezko irakurbidea	Oharrak
J_l(x)	Besselen funtzio zilindrikoak (lehenengo motakoak)	...
...	...	...
⋮

Erreferentziak eta oharrak

Kanpo estekak

Txantiloi:Autoritate kontrola

[[Jose Ramon Etxebarria|Jose Ramon Txantiloi:Larritxo]]: Zientzia eta teknikako euskara arautzeko gomendioak, Eusko Jaurlaritzaren Argitalpen Zerbitzu Nagusia, 2011.

ISO 31-11

Edukiak

Logika matematikoa

Multzoak

Denetariko zeinu eta sinboloak

Eragiketak

Funtzioak

Funtzio esponentzial eta logaritmikoak

Funtzio zirkular eta hiperbolikoak

Zenbaki konplexuak

Matrizeak

Koordinatu-sistemak

Bektoreak eta tentsoreak

Funtzio bereziak

Erreferentziak eta oharrak

Kanpo estekak

Nabigazio menua

ISO 31-11

Logika matematikoa

Multzoak

Denetariko zeinu eta sinboloak

Eragiketak

Funtzioak

Funtzio esponentzial eta logaritmikoak

Funtzio zirkular eta hiperbolikoak

Zenbaki konplexuak

Matrizeak

Koordinatu-sistemak

Bektoreak eta tentsoreak

Funtzio bereziak

Erreferentziak eta oharrak

Kanpo estekak

Nabigazio menua

Bilatu