Eraztun trukakor

Matematikan (aljebra abstraktuaren adar batean: eraztunen teoria), eraztun trukakorra biderketa-eragiketa trukakorra duen eraztuna da. Hau da, edozein $a,b\in R$-rako $a\cdot b=b\cdot a$ baldin bada. Eraztun hau $(R,+,\cdot )$ moduan adierazten da.

Eraztunak, horrez gain, $1$ elementu unitarioa baldin badu zeinak $1\cdot a=a=a\cdot 1$ bada $a$ guztietarako, eraztunari eraztun unitario trukakor deritzo.

Eraztun trukakorrak aztertzen dituen eraztunen teoriaren adarrari aljebra kommutatibo deritzo. Osagarri gisa, aljebra ez-konmutatiboa eraztun ez-trukakorren azterketa da, non ez baita beharrezkoa biderketa trukakorra izatea.

Adibideak

• Adibide garrantzitsu bat, eta nolabait erabakigarria, $\mathbb{Z}$ zenbaki osoen eraztuna da, batuketa eta biderketako bi eragiketak dituena. Zenbaki osoen biderketa eragiketa trukakorra denez, eraztun konmutatiboa da. Oro har, $\mathbb{Z}$ da Zahlen (zenbakiak) hitz alemanaren laburdura.

• Zenbaki arrazionalek, errealek eta konplexuek eraztun trukakorrak eratzen dituzte ohiko eragiketekin; are gehiago, gorputzak dira. Orokorrean, gorputzen definizioagatik, edozein gorputza eraztun trukakorra da.

• Ohartu: eraztun ez-trukakor baten adibidea da balio errealak dituzten $2\times 2$-ko matrize karratuen multzoa. Bigarren eragiketa gisa, biderketa matriziala

$\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$

beste emaitza bat ematen du, faktoreen ordena alderantzikatzen bada:

$\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 1\end{array}\right]$

• $n>0$ zenbaki oso bat baldin bada, $n$ modulu osoko Z_n multzoak $n$ elementuko eraztun trukakor bat eratzen du.

• $ℝ$ eraztun trukakorra bada, $X$ aldagaiaren polinomioen multzoa (haren koefizienteak $ℝ$-n egonik) eraztun trukakor berri bat sortzen du $ℝ[X]$adierazten dena.
• Izendatzaile bakoitia duten zenbaki arrazionalen multzoa eraztun trukakorra osatzen du, $\mathbb{Q}$ arrazionalen eraztunean hertsiki sartua, eta zenbaki osoen $\mathbb{Z}$ zehazki duena.

Propietateak

• Baldin eta $f:R$ → $S$ R eta S eraztunen arteko homomorfismoa bada, S trukakorra bada, eta f injektiboa (hau da, monomorfismo bat), R ere trukakorra izan behar da. Izan ere $f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b)=f(b)\cdot f(a)=f(b\cdot a)$.
• Baldin eta $f:R$ → $S$ R eta S eraztunen arteko homomorfismoa bada, R trukakorra izanik, R-ren $f(R)$ irudia ere trukakorra izango da; bereziki, f supraiektiboa bada (hau da, epimorfismoa), S trukakorra izango da ere.

Eraztun trukakorren interes handiena dago aipatutakoaz gain unitarioak direnean, hau da, eraztun trukakor unitarioak.