Laplaceren teorema

Laplaceren teorema —Laplaceren erregela ere deitua— teorema matematikoa da dimentsio handiko matrizeen determinanteen kalkulua sinplifikatzeko aukera ematen duena, hau determinante txikien batuketan deskonposatuz.

Teoremaren arabera, matrize baten determinantearen balioa, errenkada edo zutabe bateko elementu bakoitza bider bere matrize adjuntuaren determinantea kalkulatu eta ondoren, horien batuketa egitean lortzen denaren berdina da. Horrela, n dimentsioko determinante bat n-1 dimentsioko n determinantera txikitzen da. Hau behin da berriz aplikatuz 3x3ko (sarrusen erregela bidez kalkula daitekena) edo 2x2ko (diagonal nagusiari beste diagonala kenduz kalkula daitekeena) matrizea lortzea ahalbidetzen du.

Kontzeptuak

Laplaceren teorema ulertu ahal izateko beharrezkoa da hainbat kontzeptu ezagutzea.

Matrize karratua

Matrize karratu deritzo zutabe eta errenkada kopuru berdina duen matrizeari, hau da, n zutabe eta n errenkada duen matrizeari. nxn bezala adierazten da eta n ordenekoa dela esaten da.

$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& \cdots & a_{1,n}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& \cdots & a_{2,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m,1}& a_{m,2}& \cdots & a_{m,n}\end{array}\right)$

Minore osagarria

n ordeneko A matrize karratu bat hartuta, $a_{ij}$ elementuaren minore osagarria esaten zaio eta ${\alpha }_{ij}$bezala adierazten da A matrizetik i errenkada eta j zutabea kentzerakoan geratzen den n-1 ordeneko matrize karratuaren determinanteari.

Izan bedi 5 ordeneko matrize karratua:

$A=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& a_{1,3}& a_{1,4}& a_{1,5}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& a_{2,3}& a_{2,4}& a_{2,5}\\ a_{3,1}& a_{3,2}& a_{3,3}& a_{3,4}& a_{3,5}\\ a_{4,1}& a_{4,2}& a_{4,3}& a_{4,4}& a_{4,5}\\ a_{5,1}& a_{5,2}& a_{5,3}& a_{5,4}& a_{5,5}\end{array}\right)$

$a_{1,1}$ elementuaren minore osagarria ${\alpha }_{1,1}$ da:

${\alpha }_{1,1}=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{2,2}& a_{2,3}& a_{2,4}& a_{2,5}\\ a_{3,1}& a_{3,2}& a_{3,4}& a_{3,5}\\ a_{4,1}& a_{4,2}& a_{4,4}& a_{4,5}\\ a_{5,1}& a_{5,2}& a_{5,4}& a_{5,5}\end{array}\right|$

$a_{2,3}$ elementuaren minore osagarria ${\alpha }_{2,3}$ da:

${\alpha }_{2,3}=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& a_{1,4}& a_{1,5}\\ a_{3,1}& a_{3,2}& a_{3,4}& a_{3,5}\\ a_{4,1}& a_{4,2}& a_{4,4}& a_{4,5}\\ a_{5,1}& a_{5,2}& a_{5,4}& a_{5,5}\end{array}\right|$

Elementu baten adjuntua

$a_{i,j}$ elementuaren adjuntua deitzen zaio eta $A_{i,j}$ bezala adierazten da (+) edo (-) eranstean geratzen den determinanteari.

• i+j bikoitia bada (+) eransten zaio $a_{i,j}$ minore osagarriari.
• i+j bakoitia bada (-) eransten zaio $a_{i,j}$ minore osagarriari.

$A_{ij}=(-1{)}^{(i+j)}{\alpha }_{ij}$

Izan bedi 5 ordenako matrize karratua:

$A=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& a_{1,3}& a_{1,4}& a_{1,5}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& a_{2,3}& a_{2,4}& a_{2,5}\\ a_{3,1}& a_{3,2}& a_{3,3}& a_{3,4}& a_{3,5}\\ a_{4,1}& a_{4,2}& a_{4,3}& a_{4,4}& a_{4,5}\\ a_{5,1}& a_{5,2}& a_{5,3}& a_{5,4}& a_{5,5}\end{array}\right)$

$a_{1,1}$ elementuaren adjuntua $A_{1,1}$ da:

$A_{1,1}=+\left|\begin{array}{cccc}{a}_{2,2}& a_{2,3}& a_{2,4}& a_{2,5}\\ a_{3,1}& a_{3,2}& a_{3,4}& a_{3,5}\\ a_{4,1}& a_{4,2}& a_{4,4}& a_{4,5}\\ a_{5,1}& a_{5,2}& a_{5,4}& a_{5,5}\end{array}\right|$

$a_{2,3}$ elementuaren adjuntua $A_{2,3}$ da:

$A_{2,3}=-\left|\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& a_{1,4}& a_{1,5}\\ a_{3,1}& a_{3,2}& a_{3,4}& a_{3,5}\\ a_{4,1}& a_{4,2}& a_{4,4}& a_{4,5}\\ a_{5,1}& a_{5,2}& a_{5,4}& a_{5,5}\end{array}\right|$

OROKORREAN

Laplaceren teoremaren arabera, n ordenako matrize karratu bat hartuz, bere determinantearen balioa errenkada edo zutabe bateko elementu bakoitza bider bere matrize adjuntuaren determinantea kalkulatu eta ondoren horien batuketa egitean lortzen denaren berdina da.

e edozein errenkada izanda:

$\det (A)=\sum _{j=1}^n{a}_{e,j}{A}_{e,j}$

z edozein zutabe izanda:

$\det (A)=\sum _{i=1}^n{a}_{i,z}{A}_{i,z}$

3x3 MATRIZEA

3x3 matrizea izanda:

$M=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)$

Determinantea lehenengo ilarako adjuntuetatik kalkulatzeko:

$\det (M)=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=a_{11}\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|-a_{12}\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|+a_{13}\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|$

2x2 determinanteak garatuz hurrengoa lortzen da:

$\det (M)=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=a_{11}(a_{22}{a}_{33}-a_{23}{a}_{32})-a_{12}(a_{21}{a}_{33}-a_{23}{a}_{31})+a_{13}(a_{21}{a}_{32}-a_{22}{a}_{31})$

Parentesiak kenduz:

$\det (M)=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}{a}_{33}-a_{11}{a}_{23}{a}_{32}-a_{12}{a}_{21}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}-a_{13}{a}_{22}{a}_{31}$

Hau ordenatu daiteke Sarrusen erregela-rekin lortzen den itxura izateko:

$\det (M)=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}-a_{11}{a}_{23}{a}_{32}-a_{12}{a}_{21}{a}_{33}-a_{13}{a}_{22}{a}_{31}$

Aplikazioak

Laplace-ren teorema determinanteak kalkulatzeko erabiltzen da eta aplikazio asko ezan ditzazke. Hala ere, orden handiko determinanteak kalkulatzeko ez da erabilgarria; izan ere, bere zailtasun maila $O(n!)$ da. Erabilgarriagoa da matrizea matrize triangeluar bilakatzea, Gaussen metodoarekin adibidez, eta diagonala biderkatzea. Horrela zailtasuna $O(n^3)$ -ra murrizten da. Produktu bektorialaren kasuan, produktua determinatzaile sinbolikoa eta 3. ordenakoa denez, erraz aplika daiteke metodoa, bai eta beste kasu argigarri batzuetan ere, programazio errekurtsiboan adibidez.