Polinomio laburtezin

Eraztunen teorian, $K$ gorputza izanik, $p(x)\in K[x]$ polinomio ez-nulu bat irreduziblea dela diogu baldin eta honako polinomioaren edozein faktorizaziotan $p(x)=q(x)r(x)$ berdintzako $q(x)$ eta $r(x)$ polinomioetako bat unitatea bada. Hau da, ez badira existitzen $q(x),r(x)\in K[x]$ zeinek $p(x)$ polinomioaren maila baino maila hertsiki txikiagoa duten eta $p=r\cdot q$ betetzen den. Beraz, $r\in R$ edo $q\in R$ da derrigor; beste era batera esanda, bietako bat polinomio konstante bat izango da. Kontrako kasuan, $p(x)$ polinomio erreduziblea dela esaten da.

Erreduzible izatea edo ez gorputzaren arabera aldatzen da eta $K$ gorputza, $ℝ$ zenbaki errealen multzoa, $ℂ$ zenbaki konplexuen multzoa, $\mathbb{Q}$ zenbaki arrazionalen multzoa edo $\mathbb{Z}$ zenbaki osoen multzoa (eraztuna) izan daiteke.

Adibideak

Ondorengo bost polinomioek polinomio erreduzible eta irreduzibleen oinarrizko ezaugarri batzuk erakusten dizkigute, definiturik dauden eremuaren arabera:

$p_1(x)=x^2+4x+4=(x+2)(x+2)$,

$p_2(x)=x^2-4=(x-2)(x+2)$,

$p_3(x)=x^2-4/9=(x-2/3)(x+2/3)$,

$p_4(x)=x^2-2=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$,

$p_5(x)=x^2+1=(x-i)(x+i)$.

• $\mathbb{Z}$ zenbaki osoen eraztunaren gainean, lehen bi polinomioak erreduzibleak dira, baina azken hirurak irreduzibleak dira.
• $\mathbb{Q}$ zenbaki arrazionalen gorputzaren gainean, lehen hiru polinomioak erreduzibleak dira, baina azken biak irreduzibleak dira.
• $ℝ$ zenbaki errealen gorputzaren gainean, lehen lau polinomioak erreduzibleak dira, baina azkena irreduziblea da.
• $ℂ$ zenbaki konplexuen gorputzaren gainean, bost polinomioak erreduzibleak dira. Izan ere, $ℂ$-n polinomio ez konstante bakoitza, faktore linealetan faktorizatu daiteke:

$p(z)=a_n(z-z_1)(z-z_2)\cdots (z-z_n)$

non $a_n$ polinomioaren koefiziente nagusia den eta $z_1,\dots ,z_n$ $p(x)$-ren erroak diren. Beraz, polinomio irreduzible guztiak 1 mailakoak dira.

Irreduzibilitate irizpideak

Polinomio bat irreduziblea den edo ez frogatzeko hainbat irizpide erabil daitezke, horien artean, erredukzio irizpidea, Gauss-en lema eta Einstein-en irizpidea aurki ditzakegu.

Lehen mailako polinomioak

Irreduzibleak dira beti, $p(x)=q(x)r(x)$ bada, $deg(p)=deg(q)+deg(r)$ delako eta $deg(p)=1$ denez eta $deg(q),deg(r)\ge 1$ izan behar duenez, ez da posible.

Bigarren edo hirugarren mailako polinomioak

Baldin eta $deg(p)=2$ edo $deg(p)=3$ bada, orduan $p(x)$ irreduziblea da $K$-ren gainean baldin eta soilik baldin ez badu errorik.

$Q$ gorputzeko erroak

Baldin eta $P(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+...+a_n{x}^n\in Z[x]$ bada eta $deg(p)\ge 2$ bada, orduan $P(x)$-k $Q$-n $\alpha =r/s$ erroren bat izatekotan $zkh(r,s)=1$ izanik, derrigorrez, $r|a_0$ eta $s|a_n$ izan behar du.

Gaussen lema

Baldin eta $p(x)\in Z[x]$ bada, orduan $Q[x]$-n $p(x)$ polinomioa $q(x),r(x)\in Q[x]$ maila txikiagoko bi polinomio ez-konstanteren biderkadura gisa adieraz daiteke, baldin eta soilik baldin $q_0(x),r_0(x)\in Z[x]$-ko maila txikiagoko bi polinomio ez-konstanteren biderkadura gisa adieraz badaiteke. Hau da, $Z$ eta $Q$-n irreduzible izatea baliokidea da.

Einseinstein-en irizpide orokortua

Baldin eta $P(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+...+a_n{x}^n\in Z[x]$ bada, $p\in N$ zenbaki lehena bada, eta

• $p|a_0,p|a_1,...,p|a\text{r-1}$ non $1\le r\le n$
• $p^2\nmid a_0$
• $p\nmid a_r$

Orduan $p(x)$-k $Z[x]$ eraztunean $r$ edo $r$ baino maila handiagoko faktore irreduzible bat dauka. Bereziki, $r=n$ bada, $p(x)$ irreduziblea da $Q[x]$-ren gainean.