Eulerren formula

Eulerren formularen interpretazio geometrikoa.

Eulerren formula, izena Leonhard Eulerren omenez duena, bereziki analisi konplexu arloko matematika-formula bat da, funtzio trigonometrikoen eta funtzio esponentzialen arteko erlazio sakona erakusten duena. (Eulerren identitatea Eulerren formularen kasu berezi bat da). Formula hau da:

$e^{ix}=\cos \left(x\right)+i\sin \left(x\right)$,

non :

x zenbaki erreala den;

e logaritmo naturalaren oinarria den;

i unitate irudikaria den;

sin eta cos funtzio trigonometrikoak diren.

Esponentzial konplexuaren eta funtzio trigonometrikoen arteko erlazioa Roger Cotes matematikari ingelesak frogatu zuen lehendabizi 1714an, honela

$\ln (\cos x+i\sin x)=ix$

non ln logaritmo naturala den.

Frogapena

Eulerren formula aztertzeko berretura-serietan garatzearen ezaguerak behar ditugu. Baliabide handi bat sartuko dugu, asko sakondu gabe, ondorengo kontzeptua dena:

$a$-n zentratutako $f(x)$ funtzio analitiko baten Taylorren serietan garapena honela adierazten da:

$f(x)=\sum _{n=o}^{\mathrm{\infty }}{C}_n(x-a{)}^n$

$|x-a|<R$ , non

$C_n=\frac{f^n(a)}{n!}$

Garapen kontzeptu hori erabiliz eta $f(x)=e^x$ hartuz $a=0$ zentroko ingurune batean, honako hau dugu:

$e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^n(0)x^n}{n!}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...$

$(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ konbergentzia-tarteko edozein $x$-rako

$x=1$ denean, aurreko ekuazioan, $e$ zenbakiko adierazpena lortzen da, serie infinitu bat bezala:

$e=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...$

$x$ -ren ordez $ix$ ordezkatzen badugu, orduan:

$e^{ix}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(ix{)}^n}{n!}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n\cdot x^{2n}}{(2n)!}+i\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}\cdot x^{2n-1}}{(2n-1)!}$

Aurreko ekuazioaren ($e^{ix}$) batuketaren lehenengo zatia $cos(x)$ funtzioaren garapena da eta bigarren zatia $sin(x)$-rena Maclaurinen serie batean. Beraz, Eulerren formula izenez ezagutzen den ekuazioa dugu:

$e^{ix}=\cos \left(x\right)+i\mathrm{sen}\left(x\right)$

modu orokorragoan honela ere idatz daiteke:

$e^{iux}=\cos \left(ux\right)+i\mathrm{sen}\left(ux\right)$.

Kanpo estekak

• Txantiloi:EnEulerren formula eta Fermaten azken teorema
• Txantiloi:EnEulerren formularen ikus-adierazpena

Ikus, gainera

• Moivreren formula