Matrize nilpotente

Aljebra linealean, $N\in M_{n.n}(K)$ matrizea nilpotentea dela esaten da, baldin eta $k\in \mathbb{N}$ existitzen bada, ezen $N^k=0$ baita.

Teorema

$A$ matrize nilpotentea bada orduan bere determinantea nulua da.

Frogapena

A k ordenako matrize nilpotentea bada, $A^k=0$

Orduan: $\det (A^k)=0$

Hori dela eta: $\det (A{)}^k=0$ ,hortaz, $\det (A)=0$

Adibideak

$M=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$

matrizea nilpotentea da, M² = 0 baita. Orokorrean, edozein matrize triangeluar, bere diagonal nagusian zeroak dituena, nilpotentea da. Esaterako,

$N=\left(\begin{array}{cccc}0& 2& 1& 6\\ 0& 0& 1& 2\\ 0& 0& 0& 3\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

matrizea nilpotentea da, zeren

$N^2=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 2& 7\\ 0& 0& 0& 3\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right);N^3=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 6\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right);N^4=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$ baita.

Aurreko adibideek elementu nulu asko eduki arren, ohiko matrize nilpotenteekk ez dituzte. Esaterako,

$\left(\begin{array}{cc}6& -9\\ 4& -6\end{array}\right)\text{eta}\left(\begin{array}{ccc}5& -3& 2\\ 15& -9& 6\\ 10& -6& 4\end{array}\right)$

matrizeak ber bi eginda nuluak dira, nahiz eta elementu nulurik ez izan.

Kanpo estekak

• Txantiloi:En Matrize nilpotentea eta eraldatze nilpotenteak PlanetMath-en