Aljebraren oinarrizko teorema

Aljebraren oinarrizko teoremaren arabera, d'Alembert-en teorema edota d'Alembert-Gauss-en teorema ere deitzen denaren arabera, koefiziente konplexuak dituen aldagai bakarreko edozein polinomio ez-konstantek gutxienez erro bat du. Beste modu batean esanda, definizioz baliokidea da zenbaki konplexuen gorputza aljebraikoki itxia dela esatea. Bereziki, zenbaki errealak zenbaki konplexuak direnez, koefiziente errealak dituen aldagai bakarreko edozein polinomio ez-konstantek ere gutxienez erro bat du halabeharrez.

Teoremaren baliokidea den beste enuntziatu posible bat honakoa da: koefiziente konplexuak dituen aldagai bakarreko eta n mailako edozein polinomio ez-konstantek, anizkoiztasuna kontuan hartuta, zehatz-mehatz n erro konplexu ditu. Bi enuntziatuen arteko baliokidetasuna polinomioen arteko zatiketaren algoritmoa behin eta berriz aplikatuz frogatu daiteke.

Nahiz eta teoremaren izenak "aljebraiko" esan, ez dago teorema honen guztiz aljebraikoa den froga, aurrerago ikusiko dugun moduan. Izan ere, aljebraren oinarrizko teorema frogatzeko, gaur egun arte egiaztatu ahal izan den arabera gutxienez, beharrezkoa da zenbaki errealen osotasun propietatearen forma analitikoren bat erabiltzea eta azken hau ez da kontzeptu aljebraikoa kontsideratzen.

Historia

Petrus Roth izeneko matematikariak, Arithmetica Philosophica (1608) deitutako haren liburuan $n$ mailako eta koefiziente errealak dituen ekuazio polinomiko batek $n$ soluzio posible izan ditzakela idatzi zuen. Aldiz, L'invention nouvelle en l'Algebre (1629) liburuan, Albert Girard matematikariak $n$ mailako ekuazio batek $n$ soluzio izan behar dituela ziurtatu zuen, baina ez zuen baieztatzen soluzio hauek zenbaki errealak izan behar direnik. Ez hori bakarrik, baieztapen hau egia dela ziurtatzen du gutxienez ekuazio polinomikoa osatugabea ez bada. Ekuazio polinomiko bat osatua dela deritzogu haren koefiziente guztiak ez-nuluak baldin badira, bestela osatugabea dela esango dugu. Hala ere, xehetasun hau komentatzerakoan, Albertek benetan uste zuen baieztapena kasu guztietan egia dela, baina ez zuen lortu hau frogatzea. Izan ere, ekuazio polinomiko osatugabe baten adibidea eskeini zuen, hurrengoa hain zuzen ere: $X^4=4X-3$. Nahiz eta laugarren mailako ekuazio osatugabea izan, konprobatu daiteke hiru soluzio dituela, $1,-1+i\sqrt{2}$ eta $-1-i\sqrt{2}$ non $1$ soluzioak anizkoiztasun bikoitza duen. Beraz, anizkoiztasuna kontuan hartuta 4 soluzio posible ditugu eta honek Albertek egindako baieztapena egia izan zitekeela iradokitzen duen. Bestalde, Leibniz-ek 1702. urtean kontrakoa susmatzen zuela adierazi zuen eta beranduago Nikolaus I Bernoulli matematikari suitzarrak aieru berdina egin zuen.

Leonhard Euler

Teorema frogatzea lortu baino lehen, hau ezeztatzeko saiakerak egin ziren. Zehazki, teorema hau egia dela konprobatzen bada, modu sinple batean ondoriozta daiteke koefiziente errealak dituen maila positiboko edozein polinomio, koefiziente errealetako lehenengo eta bigarren mailako polinomioen arteko biderkadura bezala adierazi daitekeela. Hori dela eta, Leibnizek arazo bat zegoela uste zuen: $a$ zenbaki erreal ez-nulua bada orduan $X^4+a^4$ motako polinomioa ezin da aurretik aipatu dugun moduan adierazi. Modu berean, Bernoullik uste zuen $X^4-4X^3+2X^2+4X+4$ polinomioa ezin zela faktorizatu. Ildo honetatik, Leonhard Euler-ek 1742. urtean gutun bat idatzi zuen eta bai Leibniz eta bai Bernoulli okerrean zeudela adierazi zuen. Izan ere, $X^4+a^4=(X^2+a\sqrt{2}X+a^2)(X^2-a\sqrt{2}X+a^2)$ eta $X^4-4X^3+2X^2+4X+4=(X^2-(2+\alpha )X+1+\sqrt{7}+\alpha )(X^2-(2-\alpha )X+1+\sqrt{7}-\alpha )$ berdintzak betetzen direla frogatu zuen non $\alpha =4+2\sqrt{7}$ den.

Teorema frogatzeko lehenengo saiakera d'Alembert-ek egin zuen 1746. urtean. Bere frogak akats bat zeukan, momentu horretan frogatuta ez zegoen emaitza bat erabiltzen zuelako, Puiseux-en teoremaren izenarekin gaur egun ezaguna dena. Azkeneko teorema hau mende bat geroago frogatzea lortu zen eta horrek d'Alemberten froga zuzentzen zuen.

XVIII. mendearen bukaeran, besbe bi saiakera egin ziren James Wood eta Gauss matematikarienak alegia, baina bata bestea bezain oker zegoen. Azkenean, 1806. urtean Jean-Robert Argand matematikariak froga zuzen bat eskaintzea lortu zuen. Teorema enuntziatzerakoan, Aljebraren oinarrizko teorema koefiziente konplexuko polinomioentzat idatzi zuen. Honen ondoren, Gaussek teoremaren beste bi froga zuzen eman zituen, hauetako bat bere hasierako frogaren bertsio eraldatu bat izanda, honakoan bai guztiz zuzena zena.

Literaturan Aljebraren oinarrizko teoremaren frogaren lehenego aipamena Cauchy-k idatzitako Course d'anlyse de l'École Royale Polytechnique (1821) liburuan egiten da. Froga hau Argandena izan arren, Cauchyk ez zuen honen lana aipatzen.

Azkenik, aipatzekoa da aurreko frogetatik ez dagoela ezta froga eraikitzaile bat. Teorema honen lehenengo froga eraikitzailea Weierstrass-ek eman zuen XIX. mendearen erdialdean eta 1891. urtean hau argitaratu zuen. XX. mendean murgiltzen bagara, Hellmuth Knesser-ek 1940. urtean horrelako beste froga berri bat gehitzea lortu zuen, gerora 1981. urtean bere semeak, Martin Knesser-ek sinplifikatu zuena.

Enuntziatu baliokideak

Aljebraren oinarrizko teoremak hainbat baliokidetasun ditu:

• Baldin eta $f\in ℂ[X]$ eta $\mathrm{deg}(f)\ge 1$ bada, orduan $f$ polinomioak gutxienez erro bat du $ℂ$ gorputzean.
• Baldin eta $f\in ℂ[X]$ eta $\mathrm{deg}(f)=n\ge 1$ bada, orduan $f$ polinomioak zehazki $n$ erro ditu $ℂ$ gorputzean, erro bakoitza bere anizkoiztasuna beste aldiz kontatuta.
• $ℂ[X]$ eraztuneko polinomio irreduzible bakarrak lehenengo mailakoak dira.
• Baldin eta $f\in ℂ[X]$ eta $\mathrm{deg}(f)\ge 1$ bada, orduan existitzen dira $c,a_1,\dots ,a_t\in ℂ$ eta $n_1,\dots ,n_t\in \mathbb{N}$ non $f(X)=c(X-a_1{)}^{n_1}\cdots (X-a_t{)}^{n_t}$ den.

Frogak

Liouville-ren teorema erabilita

Izan bedi $n\ge 1$ mailako $P$ polinomioa. Jakina da $P$ funtzio osoa dela eta $m$ konstante positibo bakoitzarentzat existitzen da $r$ zenbaki erreal positiboa non $|P(z)|>m$ den $|z|>r$ denean. $P$ polinomioak errorik ez badu, $f=1/P$ moduan definitutako funtzioa osoa da ere eta gainera aurreko esaldian erabilitako propietatea berridatziz, edozein zenbaki positibo erreal $ϵ$ emanda, $r$ zenbaki erreal positibo bat existitzen da non $|f(z)|<ϵ$ den $|z|>r$ denean. Ondorioz, $f$ funtzioa bornatua da. Liouvilleren teoremaren arabera $f$ funtzioa osoa eta bornatua denez, halabeharrez $f$ konstantea izan behar da eta kontraesan batera ailegatzen gara $P$ polinomioaren maila bat delako gutxienez. Horrela, $ℂ$ aljebraikoki itxia dela frogatuta gelditzen da.

Aurreko argudiaketarekin jarraituta, are gehiago frogatu daiteke. Ikusi dugu $f$ ez dela funtzio osoa eta beraz $P$-k erro bat du gutxienez. Gauzak horrela, $P(z)=(z-{\alpha }_1)Q(z)$ idatzi daiteke non ${\alpha }_1\in ℂ$ balioa $P$ polinomioaren erro bat den eta $Q$ polinomioa $n-1$ maila duen. Arrazoiketa analogoa erabiliz, $Q$ polinomioak erro bat du gutxienez eta berriro faktorizatu daiteke. Prozesu hau $n-1$ aldiz errepikatuta, $P$ polinomioa honela idatzi daiteke $P(z)=k(z-{\alpha }_1)(z-{\alpha }_2)\cdots (z-{\alpha }_n)$ non ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n\in ℂ$ balioak $P$ polinomioaren erroak diren (ez halabeharrez desberdinak). Ohartu indukzioaren azken pausuan lehenengo mailako polinomio bat gelditzen zaigula konstante batengatik biderkatuta.

Galois-en teoria erabilita

Izan bedi $g\in ℂ[X]$ eta froga dezagun $g$ polinomioaren erroak zenbaki konplexuen gorputzean daudela. Definitzen dugu $f$ polinomioa $g$ polinomioaren eta bere konjokatuaren arteko biderkadura bezala. Ohartu $g$ polinomioa $ℝ[X]$ eraztunean aurkitzen dela, hau da, haren koefizienteak zenbaki errealak direla eta gainera $g$-ren erroak $f$-renak ere badira definizioz. Nahikoa da beraz $f$ polinomioaren erroak $ℂ$-n daudela frogatzearekin.

Izan bedi $L$ $f$ polinomioaren deskonposizio gorputza $ℂ$ gainean. Orduan $L/ℂ$ gorputz hedadura Galoisen hedadura da eta ohartu $L/ℝ$ ere orduan Galoisen hedadura bat dela. Kontsidera dezagun azken Galoisen hedadura honen Galoisen taldea, $G$ bezala denotatuko duguna. $G$ taldearen ordena bikoitia denez, existitzen dira $a,m\in \mathbb{N}$ non $m$ zenbaki bakoitia eta $|G|=2^{a+1}\cdot m$ den. Sylow-ren lehenengo teoremaren arabera, existitzen da $H\le G$ azpitaldea non haren ordena $2^{a+1}$ den. Gauzak horrela, $H$ azpitaldearen indizea $G$-n $m$ dela badakigu. Defini dezagun $E$ gorputza $H$ azpitaldeak finko uzten dituen elementuen multzoa bezala, hots, $E=ℱ(H)$. Beraz, $E/ℝ$ gorputz hedaduraren maila $m$ bakoitia da. Egoera honetan, zenbaki errealen gorputzak ez duenez maila bakoitiko hedadurarik onartzen, halabeharrez $m=1$ eta ondorioz $|G|=2^{a+1}$.

Bestalde, kontsidera dezagun $L/ℂ$ gorputz hedaduraren $T$ Galoisen taldea non badakigun $|T|=2^a$ den. Absurdora eramanez, suposa dezagun $L/ℂ$ gorputz hedaduraren maila bat baino handiagoa dela. Orduan $a\ge 1$ eta ondorioz existitzen da $H_0\le T$ azpitaldea non $|H_0|=2^{a-1}$ den. Azken honen elementu finkoen $E_0$ gorputza bada, $[E_0:ℂ]=2$ izan behar da. Baina azken hau ezinezkoa da, zenbaki konplexuen gorputzak ez duelako bigarren mailako hedadurarik. Ondorioz, $L=ℂ$ da eta teorema frogatuta gelditzen da.

Korolarioak

Aljebraren oinarrizko teorematik emaitza desberdinak ondoriozta daitezke.

• Zenbaki errealen gorputzaren itxitura aljebraikoa zenbaki konplexuen gorputza da.
• Zenbaki errealen gorputzaren hedadura aljebraiko posibleak bi dira bakarrik, isomorfismoak gorabehera: zenbaki errealen gorputza bera edo zenbaki konplexuen gorputza.
• Aldagai bakarreko eta koefiziente arrazionalak dituen edozein polinomio moniko $X+a$ formako binomioen eta $X^2+bX+c$ formako trinomioen arteko biderkadura da non $a,b,c\in \mathbb{Q}$ eta $b^2-4c<0$ diren.

Ikus, gainera

• Aljebra
• Polinomio
• Galoisen teoria