Aplikazio lineal

Matematiketan aplikazio lineala bi bektore-espazioren arteko aplikazio bat da, zeinak bektoreen arteko batuketa eta bektore eta eskalar baten arteko biderketa operazioak mantentzen baititu.

Aljebra abstraktuan eta aljebra linealean aplikazio lineal bat homomorfismoa da bektore-espazioen artean, edo kategorietako teoriako terminoetan, morfismo bat bektore-espazioen kategorian emandako gorputz baten gainetik.

Definizioa

Aplikazio lineal,  funtzio lineal edo transformazio lineal esaten zaio dominio eta kodominio moduan bektore-espazioak dituen eta hurrengo baldintza betetzen duen edozein $T$ aplikaziori:

Bitez $K$ gorputzaren gainean eraikitako $V$eta $W$ bektore-espazioak. $T:V\to W$ aplikazio lineala izanen da baldin eta edozein bi bektorendako $\mathrm{\forall }u,v\in V$ eta edozein eskalarrendako $\mathrm{\forall }k\in K$ ondokoa betetzen bada:

1. $T(u+v)=T(u)+T(v)$
2. $T(ku)=kT(u)$.

Bi berdintza hauek betetzeari "gainjartze printzipioa" deritzo eta hurrengo berdintzaren bidez adieraz daiteke:

• $T(ku+k^{\prime }v)=kT(u)+k^{\prime }T(v)$.

Adibideak

1. Identitate aplikazioa aplikazio lineala da edozein bektore-espazioren gainean:$$\begin{array}{cccc}T:& V& \to & V\\ & x& \mapsto & T(x)=x\end{array}$$
2. Homoteziak $n$-dimentsioko $𝕂$ gorputzean ere aplikazio linealak dira, non $k\in 𝕂$ handitze ($k>1$) edo txikitze ($k<1$) konstantea baita:$$\begin{array}{cccc}T:& {𝕂}^n& \to & {𝕂}^n\\ & x& \mapsto & T(x)=kx\end{array}$$Demostrazioa: bitez $x,y\in {𝕂}^n,a,b\in 𝕂$. Orduan $T(ax+by)=k(ax+by)=kax+kby=a(kx)+b(ky)=aT(x)+bT(y)$.

Irudia eta nukleoa

Irudia

Izan bitez $𝕂$ gorputzaren gaineko $V,W$ espazio bektorialak. $T:V\to W$ aplikazio lineala definituz, orduan, $T(f)$ multzoari aplikazioaren irudia deritzo definizioz, eta $\mathrm{Im}f$ ere adierazten da. Multzo hau $W$-ren azpimultzoa da, are gehiago, $\mathrm{Im}f$ $W$-ren azpiespazio bektoriala izango da.

Aplikazio lineal bat supraiektiboa izango da baldin eta soilik baldin, $\mathrm{Im}T=W$ bada.

Nukleoa

$T:V\to W$ hartuz, bere nukleoa ($\mathrm{Ker}T$ adierazia) honako hau izango da:

$\mathrm{Ker}T=\{v\in V:T(v)=0_W\}=T^{-1}(\{0_W\})$

Hau da, aplikazio lineal baten nukleoa eremuren azpimultzo bat da, zeinaren elementuen irudia koeremuko 0-a den. Gainera, $\mathrm{Ker}T$ $V$-ren azpiespazio bektoriala da ere.

Bestalde, aplikazio lineal bat injektiboa izango da baldin eta soilik baldin $\mathrm{Ker}T=\{0_V\}$ bada.

Aplikazio linealen oinarrizko teorema

Izan bedi $T:V\to W$ aplikazio lineala. Orduan, $\dim V=\dim \mathrm{Im}T+\dim \mathrm{Ker}T$ berdintza betetzen da.

Aplikazio linealen eraikuntza

$f_1:V\to W$ eta $f_2:V\to W$ linealak badira, $f_1+f_2$ ere lineala izango da ($(f_1+f_2)(x)=f_1(x)+f_2(x)$).

$f:V\to W$ lineala bada eta a K gorputzeko elementu bat bada, orduan, $(af)(x)=a(f(x))$ ere lineala izango da.

Bi propietate horiei esker, eta dena elementu nulura bidaltzen duen funtzioa aplikazio lineala denez, $f:V\to W$ transformazio linealen multzoak V-ren funtzioen azpiespazio bat eratzen du W-n. Azpieremu horri L(V,W) esaten zaio.

$f:V\to W$ eta $g:W\to Z$ linealak badira, orduan haien konposizio g∘f: V → Z ere lineala izango da.

V espazio bektoriala emanda, L(V,V) espazio bektorialak, eskuarki End(V) gisa hautematen denak, aljebra asoziatibo bat eratzen du oinarrizko gorputzaren gainean, non biderketa konposizioa baita eta unitatea identitatearen eraldaketa baita.

$f:V\to W$ transformazio lineal bijektiboa bada, alderantzizkoa ere lineala izango da.

Transformazio linealen sailkapena

• Funtzional lineala: $T:V\to 𝕂$ transformazio linealei (non $𝕂$ den V-ren oinarrizko gorputza) funtzional linealak deritze.
• Monomorfismoa: $T:V\to W$ injektiboa da, nukleoko elementu bakarra bektore nulua bada. $\ker (T)=0_V$
• Epimorfismoa: Baldin eta $T:V\to W$ supraiektiboa bada.
• Isomorfismoa: Baldin eta $T:V\to W$ bijektiboa bada (injektiboa eta supraiektiboa).
• Endomorfismoa: Transformazio lineal bat esaten zaio, non eremua eta koeremua bat baitatoz.
• Automorfismoa: Endomorfismo bijektiboari deitzen zaio.

Aplikazio linealari dagokion matrizea

Izan bitez V eta W bi bektore-espazio dim V=n eta dim W=m izanik eta $\beta =\{v_1,v_2,...,v_n\}$ eta ${\beta }^{\prime }=\{w_1,w_2,...,w_m\}$ V eta W-ren oinarriak. Hartu $f\in$ L(V,W). f aplikazio linealari elkartutako matrizea $\beta$ eta ${\beta }^{\prime }$ oinarriekiko, i. zutabean $f(v_i)$ bektorearen ${\beta }^{\prime }$ oinarriarekiko koordenatuak dituen matrizea da.

$M_{\beta ,{\beta }^{\prime }}(f)=\left(\begin{array}{cccc}|& |& ...& |\\ |& |& ...& |\\ f(v_1)-en& f(v_2)-ren& ...& f(v_n)-ren\\ koordenatuak& koordenatuak& ...& koordenatuak\\ \{w_1,w_2,...w_m\}-rekiko& \{w_1,w_2,...w_m\}-rekiko& ...& \{w_1,w_2,...w_m\}-rekiko\end{array}\right)$

hau da, $i\in \{1,...,n\}$ guztietarako, $f(v_i)={\sum }_{k=1}^m{a}_{ki}{w}_k$ da.