Atiyah-Singer indizearen teorema

 

Geometria diferentzialean, Atiyah-Singer indizearen teoremak zera dio: barietate trinko baten gaineko eragile diferentzial eliptiko batean, indize analitikoa (soluzioen espazioaren dimentsioarekin erlazionatua) eta indize topologikoa (zenbait datu topologikoren bidez definitua) berdinak dira. Michael Atiyah-k eta Isadore Singer-ek frogatu zuten 1963an.

Beste teorema asko ere baditu, hala nola Chern–Gauss–Bonnet-en teorema eta Riemann–Roch-en teorema, kasu berezi gisa, eta fisika teorikoan aplikazioak ditu.

Historia

Israel Gel'fand-ek planteatu zuen eragile diferentzial eliptikoen indize-arazoa. Indizearen homotopia inbariantea zela ohartu zen eta inbariante topologikoen bidezko formula baten beharra sumatu zuen. Haren beharra hainbat adibideetan ikusten zen eta haiek motibatuta egin zuen lan: Riemann–Roch-en teorema (eta haren orokortzea den Hirzebruch–Riemann–Roch-en teorema) eta Hirzebruch-en sinaduraren teorema. Friedrich Hirzebruch-ek eta Armand Borel-ek spin barietate baten  genus-aren integragarritasuna frogatu zuen, eta Atiyah-k iradoki zuen integragarritasun hori azaltzea posiblea zela Dirac eragilearen indizea balitz (Atiyah eta Singer-ek gauza bera aurkitu zuten 1961ean).

Atiyah-Singer teorema 1963an iragarri zen. Iragarpen horretan egindako frogaren eskema ez zuten beraiek argitaratu, baina Richard Palais-ek Princetongo Unibertsitatean emandako mintegiko argitalpenean agertzen da. Aldi berean, Parisen egin zen "Séminaire Cartan-Schwartz 1963/64" mintegiko argitalpenean ere agertu zen. Atiyah-k Parisen eman zuen azken hitzaldia mugatutako barietateei buruzkoa izan zen. Argitaratutako lehen frogak cobordism izenez ezagutzen den barietate trinkoen baliokidetasun erlazioan oinarritutako teoria baztertu zuen eta haren ordez K-teoria erabili zen hainbat orokortze frogatzeko.

• 1965: Sergey P. Novikov-ek Pontryagin-en klase arrazionalen inbariantza topologikoari buruzko emaitzak argitaratu zituen barietate lauetarako.
• Robion Kirby-ren eta Laurent C. Siebenmann-en emaitzek René Thom-en artikuluarekin konbinatuta, barietate topologikoetan Pontryagin-en klase arrazionalak existitzen direla frogatu zuten. Pontryagin-en klase arrazionalak barietate lau eta topologikoei buruzko indize-teoremaren funtsezko osagaiak dira.
• 1969: Michael Atiyah-k espazio metriko arbitrarioetan eragile eliptiko abstraktuak definitu zituen. Eragile eliptiko abstraktuak Kasparoven teorian eta Connes-en geometria diferentzial ez-trukakorrean protagonista bihurtu ziren.
• 1971: Isadore Singer-ek programa bat proposatzen du indize-teoriaren etorkizuneko hedapenetarako.
• 1972: Gennadi G. Kasparov-ek eragile eliptiko abstraktuen bidez K-homologia egiteari buruzko lana argitaratu zuen.
• 1973: Atiyah, Raoul Bott eta Vijay Patodi-k indize-teoremaren beste froga bat eman zuten, Melrose-ren artikulu batean deskribatutako beroaren ekuazioa erabiliz.
• 1977: Dennis Sullivan-ek bere teorema ezarri zuen Lipschitz-en eta egitura quasiconformal-en existentziari eta bakartasunari buruz, 4-dimentsiokoak ez diren barietate topologikoetarako.
• 1983: Ezra Getzler-ek, Edward Witten-en eta Luis Alvarez Gaume-ren ideiek bultzatuta, lokalki Dirac-en eragile diren eragileetarako indize-teorema lokalaren froga labur bat eman zuen; kasu erabilgarri askotarako balio du.
• 1983: Nicolae Teleman-ek bektore-sortetan balioak dituzten sinadura-eragileen indize analitikoak inbariante topologikoak direla frogatu zuen.
• 1984: Teleman-ek indizearen teorema ezarri zuen barietate topologikoetan.
• 1986: Alain Connes-ek geometria ez-trukakorrari buruzko bere funtsezko artikulua argitaratu zuen.
• 1989: Simon K. Donaldson-ek eta Sullivan-ek 4. dimentsioko barietate quasiconformal-ei buruzko Yang–Mills teoria aztertu zuten. S sinadura-eragilea definitu zuten bigarren mailako forma diferentzialetarako.
• 1990: Connes-ek eta Henri Moscovici-k indizearen formula lokala frogatu zuten geometria ez-trukakorraren testuinguruan.
• 1994: Connes-ek, Sullivan-ek eta Teleman-ek indizearen teorema frogatu zuten barietate quasiconformal-etako sinadura-eragileetarako.

Notazioa

• X barietare lau trinkoa da (mugarik gabea).
• E eta F bektore-mataza lauak dira X barietatean.
• E-tik F-rako eragile diferentzial eliptikoa da D. Beraz, koordenatu lokaletan eragile diferentzial gisa jarduten du, E-ren sekzio lauak F-ren sekzio lauetara eramanez.

Eragile diferentzialaren ikurra

Izan bedi n ordenako espazio euclidestar bateko k aldagaiko D eragile diferentziala ($x_1,\dots ,x_k$). Haren ikurra 2k aldagaiko funtzioa da, ($x_1,\dots ,x_k,y_1,\dots ,y_k$) eta n ordena baino gutxiagoa duten gaiak kenduz eta $\partial /\partial x_i$-ren ordez $y_i$ idatziz lortzen da. Orduan, ikurra homogeneoa da y aldagaietan eta n gradukoa. Ikurra ondo definituta dago, nahiz eta $\partial /\partial x_i$ ez den trukakorra $x_i$-rekin, ordena altueneko terminoak bakarrik mantentzen direlako eta eragile diferentzialaktrukakorrak direlako "behe-ordenako terminoetaraino". Eragileari eliptiko esaten zaio y-etako bat gutxienez zero ez den guztietan ikurra zero ez bada.

Adibidea: k aldagaiko Laplace-ren eragileak $y_1^2+\cdots +y_k^2$ ikurra du, eta eliptikoa da, $y_i$-ren bat zeroren desberdina denean ikur osoa zeroren desberdina delako. Uhin-eragileak $-y_1^2+\cdots +y_k^2$ ikurra du, eta ez da eliptikoa $k\ge 2$ denean, zeroren desberdinak diren y batzuetarako ikurra zero bihurtzen delako.

Modu berean definitzen da X barietate lau bateko n ordenako eragile diferentzial baten ikurra, koordenatu lokalak erabiliz. X-ren kotangente-matazaren funtzio bat da, n graduko homogeneoa espazio kotangente bakoitzean. Orokortuz, E eta F bi bektore-sorten arteko eragile diferentzial baten ikurra eliptikoa da, baldin Hom(E_x, F_x)-ren elementua alderantzikagarria bada zero ez diren bektore kotangente guztientzat, X-ren edozein x puntutan.

Eragile eliptikoen funtsezko ezaugarri bat da ia alderantzikagarriak direla; horrek lotura estua du sinboloak ia alderantzikagarriak izatearekin. Zehatzago esanda, D barietate trinko bateko eragile eliptiko batek bakarra ez den D′ parametriko (sasialderantzizko edo pseudoinverse) bat du, non DD′ -1 eta D′D -1 eragile trinkoak diren. Ondorioz, D-ren nukleoa dimentsio finitukoa da, eragile trinkoen autoespazio guztiak, nukleoa izan ezik, dimentsio-finitukoak direlako. (Operadore diferentzial eliptiko baten sasialderantzizkoa ia inoiz ez da eragile diferentziala. Hala ere, eragile sasidiferentzial eliptikoa da.)

Indize analitikoa

D eragile diferentzial eliptikoak sasialderantzizko bat duenez, "Fredholm eragilea" da. Fredholm eragileek horrela definitutako indize bat dute: D-ren nukleoaren dimentsioaren (finitua) (Df = 0-ren soluzioak) eta D-ren konukleoaren dimentsioaren (finitua) arteko diferentzia (Df = g). Bestela esanda,

Indizea(D) = dim Ker(D)–dim Coker(D) = dim Ker(D)–dim Ker(D*).

Horri D indize analitikoa deitzen zaio batzuetan.

Adibidea: Demagun barietatea zirkulua dela (R/Z gisa hartuta) eta λ konstante konplexu baterako d/dx − λ eragilea D dela. (Hori da eragile eliptiko baten adibiderik sinpleena.) Orduan, nukleoa exp(λx)-ren multiploen espazioa da λ konstantea 2πi-ren multiplo integrala bada, eta bestela 0 da. Adjuntuaren nukleoa antzeko espazio bat da, λ-ren ordez bere konplexu konjugatua duena. Beraz, D-k 0 indizea du. Adibide horrek erakusten du eragile eliptikoen nukleoa eta cokernela modu etenean jauzi daitezkeela eragile eliptikoa aldatu ahala; beraz, ez dago formula egokirik haien dimentsioetarako, datu topologiko jarraituei dagokienez. Hala ere, nukleoaren eta cokernelaren dimentsioetako jauziak berdinak dira, eta, beraz, haien dimentsioen diferentziaren bidez emandako indizea etengabe aldatzen da, eta indizearen teoremaren bidez eman daiteke, datu topologikoak erabiliz.

Indize topologikoa

Izan bitez $n$ dimentsioko $X$ barietate trinkoa eta $E$ eta $F$ bektore-mataza lauak. $X$ barietatean $E$ eta $F$ arteko $D$ eragile diferentzial eliptikoaren indize topologikoa horrela definitzen da:

$(-1{)}^n\mathrm{ch}(D)\mathrm{Td}(X)[X]=(-1{)}^n\underset{X}{\int }\mathrm{ch}(D)\mathrm{Td}(X)$

beste era batera esanda, $\mathrm{ch}(D)\mathrm{Td}(X)$ kohomologia klase mistoko osagai goi-dimentsionalaren balioa, $X$ barietarearen oinarrizko homologia klasean, zeinu-diferentzia bateraino.

• $X$-ren mataza-tangente konplexutuaren Todd-klasea $\mathrm{Td}(X)$ da.
• $\mathrm{ch}(D)$ eta ${\phi }^{-1}(\mathrm{ch}(d(p^{*}E,p^{*}F,\sigma (D))))$ berdinak dira, non:
  • $p:B(X)/S(X)\to X$ esfera-sortaren Thom isomorfismoa hau den:$\phi :H^k(X;\mathbb{Q})\to H^{n+k}(B(X)/S(X);\mathbb{Q})$
  • Chern-en karakterea: $\mathrm{ch}:K(X)\otimes \mathbb{Q}\to H^{*}(X;\mathbb{Q})$
  • $d(p^{*}E,p^{*}F,\sigma (D))$ "desberdintasun-elementua" da $K(B(X)/S(X))$-n, $B(X)$-n $p^{*}E$ eta $p^{*}F$ bektore-sortekin eta haien arteko $\sigma (D)$ isomorfismoarekin erlazionatuta dagoena $S(X)$ aspiezpazioan.
  • $D$-ren ikurra $\sigma (D)$ da.

Egoera batzuetan, aurreko formula sinplifika daiteke helburu konputazionalekin. Zehazki, $X$ barietatea $2m$ dimentsiokoa eta orientagarria (trinkoa) bada eta $e(TX)$ Eulerren klasea zero ez bada, orduan Thom-en isomorfismoa aplikatuz eta Eulerren klaseaz zatituz, indize topologikoa horrela adieraz daiteke:

$(-1{)}^m\underset{X}{\int }\frac{\mathrm{ch}(E)-\mathrm{ch}(F)}{e(TX)}\mathrm{Td}(X)$

non, zatiketak zentzua duen $e(TX{)}^{-1}$ kohomologia-eraztunetik $BSO$ sailkapen-espaziora eramanez.

Indize topologikoa K-teoria soilik erabiliz ere defini daiteke (definizio alternatibo hori bateragarria da, nolabait, Chern-karakterearen eraikuntzarekin). Izan bedi Y barietate trinkoaren X azpibarietate trinkoa. Orduan, K(TX)-tik K(TY)-rako mapeatzea existitzen da. K(TX)-ko elementu baten indize topologikoa horrela definitzen da: eragiketa horren irudiaren emaitza Y espazio euklidestar jakin batean, non K(TY) modu naturalean defini daitekeen Z multzoko zenbaki osoekin (Bott periodizitatearen ondorioz). X-k espazio euklidestarrean duen txertatzearekin independentea da mapeatze hori. Goikoa bezalako eragile diferentzial batek modu naturalean definitzen du K(TX)-ko elementu bat, eta mapeatze horren irudia Z multzoan indize topologikoa da.

Beti bezala, $X$ barietate trinkoan $E$ eta $F$ bektore-matazen arteko eragile diferentzial eliptiko bat $D$ da.

Indizearen problema honakoa da: D-ren indize analitikoa kalkulatu, s ikurra eta barietatetik eta bektore-sortatik eratorritako datu topologikoak bakarrik erabiliz. Atiyah-Singer indizearen teoremak problema hori ebazten du, eta zera dio:

D-ren indize analitikoa eta bere indize topologikoa berdinak dira.

Nahiz eta definizio bikaina izan, normalean indize topologikoa erraz ebalua daiteke esplizituki. Horri esker, indize analitikoa ebalua daiteke. (Eragile eliptikoen nukleoa eta cokernela, oro har, oso zailak dira bakarka ebaluatzeko; indizearen teoremak erakusten du, normalean, haien arteko diferentzia ebalua daitekeela.) Barietate baten inbariante garrantzitsu asko (adibidez, sinadura) eragile diferentzial egokien indize gisa eman daitezke; beraz, indizearen teoremari esker, inbariante horiek datu topologikoen arabera ebalua ditzakegu.

Indize analitikoa zuzenean ebaluatzea zaila izaten den arren, zenbaki oso bat da, noski. Indize topologikoa, definizioz, zenbaki arrazionala da, baina, oro har, ez da agerikoa osoa ere badela. Beraz, Atiyah-Singer indizearen teorematik integraltasun (osotasun) propietate batzuk ondorioztatzen dira, indize topologikoa osoa dela ondorioztatzen delako.

Bistan denez, eragile diferentzial eliptiko baten indizea zero bihurtzen da, eragilea bera adjuntua bada. Era berean, X barietatearen dimentsioa bakoitia bada, indizea desagertzen da, nahiz eta badiren eragile eliptiko sasidiferentzialak, dimentsio bakoitietarako zero bihurtzen ez direnak.

Kanpo estekak

• Txantiloi:En Index formulas Voitsekhovskii, M.I.; Shubin, M.A., Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Txantiloi:En The Atiyah-Singer Index theorem what it is and why you should care Mazzeo, Rafe, 2002
• Txantiloi:En Interview with Michael Atiyah and Isadore Singer Martin Raussen, Christian Skau. European Mathematical Society Newsletter, (2004), pages 24-30.
• Txantiloi:En Recollections from the Early Days of Index Theory and Pseudo–Differential Operators R.T. Seeley et al. 1998ko irailean Roskilden (Danimarka) egindako sinposio batean afaldu osteko elkarrizketa informal baten transkripzio partziala.