Bézouten identitate

Bézouten identitateak (edo Bézouten lemak) zera dio: zeroren ezberdinak diren $a$ eta $b$ bi zenbaki oso elkarrekiko lehenak badira, orduan existitzen dira x eta y bi zenbaki oso non 1=$ax+by=d$ den.

Era berean, $d=zkh(a,b)$izanik. Bezouten identitateagatik ondokoa ondorioztatu daiteke.:

• Alde batetik, baldin eta $n\ne 0$ bada, orduan $zkh(na,nb)=|n|zkh(a,b)$dela .

• Bestalde, $zkh(a/c,b/d)=1$dela ziurtatzen du.

Identitateari izena Étienne Bézout (1730-1783) matematikari frantsesaren omenez jarri zitzaion. Zenbaki teoriako beste teorema batzuk (Euklidesen lema edo Hondarraren teorema txinatarra, adibidez) Bézouten identitatean oinarritzen dira.

Soluzioen egitura

Bézouten identitateko ($x$, $y$) zenbakiak ($a$, $b$)-rako Bézouten koefizienteak direla esaten da. Koefiziente horiek eta $d=zkh(a,b)$ haien zatitzaile komun handiena Euklidesen algoritmo hedatuaren bitartez kalkula daitezke eta lortuko diren balioek honakoa beteko dute:

$|x|\le \left|\frac{b}{d}\right|$ eta $|y|\le \left|\frac{a}{d}\right|$

$a$ eta $b$ bata bestearen multiplo badira, goiko erlazioan berdintza beteko da.

Bézouten koefizienteak ez dira bakarrak. Izan ere,

$a(x-kb)+b(y+ka)=ax-kba+by+kba=ax+by$.

Hortaz, ($x$, $y$) Bézouten koefiziente pare bat kalkulatua izan denean, (Euklidesen algoritmo hedatuaren bidez, adibidez), gainerako ($x^{\prime }$, $y^{\prime }$) koefiziente-pareek existitzen diren Bézouten koefiziente guztiak (infinitu) adieraziko dituzte.

$x^{\prime }=x-kb,y^{\prime }=y+ka$.

Adibidea

Izan bitez $a=502$ eta $b=110$ bi zenbaki oso. Euklidesen algoritmo hedatuaren bidez $(x,y)$ Bézouten koefizienteak eta haien zatitzaile komun handiena den $d=zkh(a,b)$ kalkulatuko ditugu. Zatiketa euklidearrak eginek eta hondarrak askatuz, zera lortuko dugu:

$\begin{array}{cc}& 502=110(4)+62\Rightarrow 62=502(1)-110(4)\Rightarrow 62=502(1)+110(-4)\\ & 110=62(1)+48\Rightarrow 48=110(1)-62(1)\Rightarrow 48=110(1)+62(-1)\\ & 62=48(1)+14\Rightarrow 14=62(1)-48(1)\Rightarrow 14=62(1)+48(-1)\\ & 48=14(3)+6\Rightarrow 6=48(1)-14(3)\Rightarrow 6=48(1)+14(-3)\\ & 14=6(2)+2\Rightarrow 2=14(1)-6(2)\Rightarrow 2=14(1)+6(-2)\end{array}$

Hortaz, $zkh(502,110)=2$ da. Hondarrak atzera ordezkatuz, ($x$, $y$) Bézouten koefizienteak kalkulatuko ditugu:

$\begin{array}{cc}2& =502(x)+100(y)\\ 2& =14(1)+6(-2)\\ & =[62(1)+48(-1)](1)+[48(1)+14(-3)](-2)\\ & =[62(1)+48(-1)]+[48(-2)+14(6)]\\ & =62(1)+48(-3)+14(6)\\ & =[502(1)+110(-4)](1)+[110(1)+62(-1)](-3)+[62(1)+48(-1)](6)\\ & =[502(1)+110(-4)](1)+[110(-3)+62(3)]+[62(6)+48(-6)]\\ & =[502(1)+110(-7)+62(9)+48(-6)]\\ & =[502(1)+110(-7)]+[502(9)+110(-36)+[110(-6)+62(-6)]]\\ & =[502(10)+110(-49)+62(6)]\\ & =[502(10)+110(-49)]+[502(1)+110(-4)](6)\\ & =[502(10)+110(-49)]+[502(6)+110(-24)]\\ & =502(16)+110(-73)\end{array}$

Beraz, lortu ditugu Bézouten koefizienteak: $x=16$ eta $y=-73$.

Egiazta daiteke Bézouten identitatea ($ax+by=d$) betetzen dela:

$502(16)+110(-73)=2$.

Esan dugunez, Bézouten koefizienteak ez dira bakarrak. $k=1$ baliorako, adibidez, honako beste ($x^{\prime }$, $y^{\prime }$) koefiziente-parea lortuko dugu:

$x^{\prime }=x-kb=16-110=-94,y^{\prime }=y+ka=-73+502=429$.

Egiazta daiteke Bézouten identitatea ($ax+by=zkh(a,b)$) betetzen dela:

$502(-94)+110(429)=2$.

Kanpo estekak

• EHU TB - Alderantzizkoen kalkulua Z/nZ moduko eraztunetan
• Txantiloi:En Online calculator of Bézout's identity.
• Wolfram MathWorld, Bézout's identity