Batezbestekorako t konfiantza-tarte

Bariantza ezezaguneko populazio normal bateko batezbestekorako konfiantza tartea, labur batezbestekorako t konfiantza-tartea ere deitzen dena, populazio normal batean batezbestekoa zenbatesteko konfiantza-tarte bat da. Honela eratzen da tarte simetrikoa $1-\alpha$ konfiantza-maila baterako:

$\mu \in [\bar{x}-t_{\frac{\alpha }{2}}\frac{\hat{s}}{\sqrt{n}},\bar{x}+t_{\frac{\alpha }{2}}\frac{\hat{s}}{\sqrt{n}}]$ edo, beste era batera, $\mu \in [\bar{x}\pm t_{\frac{\alpha }{2}}\frac{\hat{s}}{\sqrt{n}}]$

Praktikan maiz erabiltzen den konfiantza-tartea da: $\mu$ batezbestekoa gehien estimatzen den parametroetako bat da eta populazioaren normaltasuna askotan suposatu daitekeen hipotesia da. $\mu$ batezbestekoaren zenbatesle gisa $\bar{x}$ erabiltzen da. Populazioaren bariantza ezezaguna denez, bere zenbatesle alboragabea den ${\hat{s}}^2$ quasibariantzaren bitartez zenbatesten da.

Frogapena

Konfiantza-tarte eratzeko, Studenten t banaketari jarraiki banatzen den estatistiko hau baliatzen da:

$\frac{\bar{x}-\mu }{\frac{\hat{s}}{\sqrt{n}}}\sim t_{n-1}$

Zenbatesle honetarako $1-\alpha$ probabilitate-tartea eratzen da jarraian, non $t_{\frac{\alpha }{2}}$ Studenten t banaketan bere gainetik $\frac{\alpha }{2}$ probabilitatea uzten duen balioa den:

$P[-t_{\frac{\alpha }{2}}<\frac{\bar{x}-\mu }{\frac{\hat{s}}{\sqrt{n}}}<t_{\frac{\alpha }{2}}]=1-\alpha \to$

$P[-t_{\frac{\alpha }{2}}\frac{\hat{s}}{\sqrt{n}}<\bar{x}-\mu <t_{\frac{\alpha }{2}}\frac{\hat{s}}{\sqrt{n}}]=1-\alpha \to$

$P[-t_{\frac{\alpha }{2}}\frac{\hat{s}}{\sqrt{n}}<\mu -\bar{x}<t_{\frac{\alpha }{2}}\frac{\hat{s}}{\sqrt{n}}]=1-\alpha \to$

$P[\bar{x}-t_{\frac{\alpha }{2}}\frac{\hat{s}}{\sqrt{n}}<\mu <\bar{x}+t_{\frac{\alpha }{2}}\frac{\hat{s}}{\sqrt{n}}]=1-\alpha$

Tarte ez-simetrikoak

Egoera batzuetan, tarte asimetrikoak hobesten dira. Horietan, populazio-batezbestekoa balio batetik gorakoa edo beherakoa dela zehazten da, konfiantza maila jakin baterako. Tarte horiek eratzeko formulak hauek dira:

• populazio-batezbestekoaren gutxieneko balio baterako,

$\mu >\bar{x}-t_{\alpha }\frac{\hat{s}}{\sqrt{n}}$

• populazio-batezbestekoaren gehienezko balio baterako,

$\mu <\bar{x}+t_{\alpha }\frac{\hat{s}}{\sqrt{n}}$

non $t_{\alpha }$ Studenten t banaketan bere gainetik $\alpha$ probabilitatea uzten duen balioa den.

Lagin-tamaina handiak

Lagin-tamaina handietarako (n>30) banaketa normal estandarra erabiltzen da Student-en t banaketaren hurbilketa gisa.