Berreketa

Txantiloi:HezkuntzaPrograma Fitxategi:Zer dira berreketak?.webm

Berreketa bi zenbaki, berrekizuna eta berretzailea, hartzen dituen eragiketa matematikoa da. Honela definitzen da a ber n berreketa, a berrekizuna edozein zenbaki eta n berretzailea zenbaki naturala izanik:

$a^n=\underset{n}{\underbrace{a\times \cdots \times a}}$

Adibidez, 2 ber 4:

$2^4=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16,$

non 2 berrekizuna eta 4 berretzailea diren.

Berretzailea 1 denean: $a^1=a$.

Berretzailea 2 denean, karratu hitza erabil daiteke ber bi ordez (adibidez, 4², lau karratu edo lau ber bi esan daiteke).

Berretzailea 3 denean, kubo hitza erabil daiteke, ber hiru ordez (adibidez, 4³, lau kubo edo lau ber hiru esan daiteke).

Berreketen propietateak

Berrekizun berdina duten berreketen biderkaketak egiten direnean, berretzaileak batu egiten dira:

$a^m\times a^n=a^{m+n}$

Adibidez,

$5^4\times 5^3=5^7$

Berreketaren gaineko berreketetan, berriz:

$(a^m{)}^n=a^{m\times n}$

Berdintza hau ere aipatu behar da:

$(a\times b{)}^n=a^n\times b^n$

Aipatu behar da berreketen berreketetan, parentesi ezean, berreketak goitik behera egin behar direla lehendabizi:

$a^{b^c}=a^{(b^c)}.$

Hori horrela, berreketak ez du propietate elkarkorra betetzen:

$a^{(b^c)}\ne (a^b{)}^c$

Azkenik, batuketa eta biderkaketa ez bezala, berreketa ez da trukakorra:

$a^b\ne b^a$

0 berretzailea

Berretzailea 0 denean, berreketaren emaitza 1 da, berrekizun guztietarako:

$a^0=1$

Honen arrazoia honela azal daiteke:

$a^1=a$

Bestalde, berreketen biderkaketa propietatea erabiliz:

$a^1=a^0\times a^1=a^0\times a$

Beraz,

$a^0\times a=a\to a^0=1$

Berretzaile negatiboak

Berretzaile negatiboetarako honela definitzen da berreketa:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

Horrela, propietate hau sortzen da:

$\frac{a^m}{a^n}=a^m\times \frac{1}{a^n}=a^{m-n}$

-1 zenbakiaren berreketak

• n bikoitia bada, (-1)ⁿ=1.
• n bakoitia bada, (-1)ⁿ=-1.

Berreketaren emaitzaren zeinua aldakorra denez, n bakoitia edo bikoitia den, (-1)ⁿ berreketa zeinu aldakorreko serieak adierazi eta aztertzeko erabiltzen da.

0 zenbakiaren berreketak

• Berretzailea positiboa bada, 0ⁿ=0.
• Berretzailea negatiboa bada, 0ⁿ adierazpena mugagabea da, 0 zenbakiazko zatiketa egin behar baita.
• Berretzailea 0 bada, 0⁰ adierazpenaren emaitza 1 da zenbait alorretan. Beste alor batzuetan mugagabea dela esan daiteke.

Berretzaile handiak

• a>1 betetzen bada, aⁿ segida matematikoa infiniturantz doa, n infiniturantz doanean. Hau da, berrekizuna 1 baino handiagoa bada, berretzailea handia denean, emaitzak infiniturantz joko du
• a<1 betetzen bada, aⁿ segida matematikoa zerorantz doa, n infiniturantz doanean. Hau da, berrekizuna 1 baino txikiagoa bada, berretzailea handia denean, emaitzak zerorantz joko du.
• a=1 betetzen bada, aⁿ=1, n infiniturantz doanean.
• Berrekizuna 1 zenbakirantz badoa (1 izan gabe), berretzaileak infiniturantz jotzen duelarik, ezin da baieztatu, arestiko puntuan ezarritakoa dela eta, emaitza 1 izango denik. Adibidez, n infiniturantz doanean, honako segida e zenbakirantz jotzen du:

${(1+\frac{1}{n})}^n\to e,n\to \mathrm{\infty }\text{doalarik}$

Ariketak

• Berreketak
• 
  Berreketak akats arruntak lantzeko ariketa.
• 
  Berreketen propietateak.
• 
  Berreketak berretzailea 0 denean.
• 
  Berreketak berretzaile negatiboarekin.
• 
  Berreketa ariketak berretzaile negatiboarekin.
• 
  Berreketak bakarrera laburtzea.
• 
  Berreketa baten berreketa.
• 
  Berreketen eragiketa konbinatuak.
• 
  Berreketen propietateak.
• 
  Berrekizuna hamar duten berreketak.
• 
  Deskonposizio polinomikoa lantzeko ariketa.