Butterworth iragazki

Lehen ordenako behe-paseko Butterworth iragazki baten Boderen diagrama, tentsio-irabazia (goian) eta fasea (behan).

Butterworth iragazkia iragazki elektroniko aktibo mota bat da. Butterworthen polinomioetan oinarritzen da bere diseinua. Eredu matematikoaren hurbileko maiztasun-erantzuna izan dezan diseinatzen da.

Butterworth iragazkia Stephen Butterworth ingeniari britainiarrak teorizatu zuen "On the Theory of Filter Amplifiers", Wireless Engineer (Experimental Wireless and the Wireless Engineer bezala ere ezagutua), 7. liburukia, 1930, 536-541 orrialdeak.

Transferentzia-funtzioa

Butterworth motako behe-paseko iragazkien transferentzia funtzioa, 1. ordenetik 5. ordenetakora. Funtzioaren malda 20·n dB/dekadakoa da, non n-k ordena adierazten duen.

Iragazkirik arruntena behe-pasekoa da, goi-paseko bihurtu daitekeena. Bi iragazki hauek konbinatuz banda kentzeko iragazkiak eta banda-paseko iragazkiak lor daitezke.

n ordenako iragazki baten tentsio-irabazia, transferentzia-funtzioan H(s) bezala adierazita dagoena ondorengo adierazpen matematikoa da:

$G^2(\omega )={|H(j\omega )|}^2=\frac{G_0^2}{1+{\left(\frac{\omega }{{\omega }_c}\right)}^{2n}}$

non

• n = iragazkiaren ordena
• ω_c = ebaki-frekuentzia (gutxi gorabehera -3dB dagoen maiztasuna)
• $G_0$ korronte zuzeneko irabazia (zero maiztasuneko irabazia)

n infinitura hurbiltzen den heinean irabazia funtzio errektangular baten itxura hartzen du, eta ondorioz ω_c baino txikiagoak diren maiztasunetarako irabaziak $G_0$ balio du. ω_c baino handiagoak diren frekuentzietan, berriz, ez dago irabazirik. n txikiko balietarako, ebaki-maiztasuneko irabazia ez litzateke hain zorrotza izango.

H(s) transferentzia-funtzioa ezagutu nahi dugu, non $s=\sigma +j\omega$ den. H(s)H(-s), s = jω domeinuan, |H(jω)|² denez, orduan:

$H(s)H(-s)=\frac{G_0^2}{1+{\left(\frac{-s^2}{{\omega }_c^2}\right)}^n}$

Adierazpen matematiko honen poloak ω_c erradioko biribil batean azaltzen dira, simetrikoki.

$-\frac{s_k^2}{{\omega }_c^2}=(-1{)}^{\frac{1}{n}}=e^{\frac{j(2k-1)\pi }{n}}\mathrm{k}\mathrm{=}\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{3},\mathrm{\dots },\mathrm{n}$

eta horrenbestez,

$s_k={\omega }_c{e}^{\frac{j(2k+n-1)\pi }{2n}}\mathrm{k}\mathrm{=}\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{3},\mathrm{\dots },\mathrm{n}$

Transferentzia-funtzioa:

$H(s)=\frac{G_0}{\prod _{k=1}^n(s-s_k)/{\omega }_c}$

Beraz, denominatzailea sren domeinuan dagoen Butterworthen polinomioa da.

Butterworthen polinomio normalizatuak

Butterworthen polinomioa ω_c = 1 eginez normalizatzen da.

$B_n(s)=\prod _{k=1}^{\frac{n}{2}}[s^2-2s\cos \left(\frac{2k+n-1}{2n}\pi \right)+1]$ n bakoitientzako

$B_n(s)=(s+1)\prod _{k=1}^{\frac{n-1}{2}}[s^2-2s\cos \left(\frac{2k+n-1}{2n}\pi \right)+1]$ n bikoitientzako

Lau zenbaki hamartarrekin, Butterworthen adierazpenak honako hauek dira:

n Polinomioaren faktoreak $B_n(s)$ 1 $(s+1)$ 2 $s^2+1.4142s+1$ 3 $(s+1)(s^2+s+1)$ 4 $(s^2+0.7654s+1)(s^2+1.8478s+1)$ 5 $(s+1)(s^2+0.6180s+1)(s^2+1.6180s+1)$ 6 $(s^2+0.5176s+1)(s^2+1.4142s+1)(s^2+1.9319s+1)$ 7 $(s+1)(s^2+0.4450s+1)(s^2+1.2470s+1)(s^2+1.8019s+1)$ 8 $(s^2+0.3902s+1)(s^2+1.1111s+1)(s^2+1.6629s+1)(s^2+1.9616s+1)$

Ikus, gainera

• Iragazki elektroniko
• Iragazki analogiko
• Iragazki digital
• Cauer iragazki
• Chebyshev iragazki
• Bessel iragazki