Ekuazioak ebaztea

Txantiloi:HezkuntzaPrograma Fitxategi:Ekuazio baten ebazpena.webm Ekuazioak zenbakiz eta letraz osatutako berdintza baldintzatuak dira. Zenbakiak ezagunak dira; letrak, aldiz, ezezagunak; ekuazioak ebaztea letren balio zehatza aurkitzean datza, berdintza bete dadin.

Baliteke emaitza bat baino gehiago zuzenak izatea, edota ekuazioak emaitza errealik ez izatea. Ekuazio-mota asko daude, ezezagun kopuruaren eta ekuazioaren egituraren arabera.

Ezezagun bakarreko ekuazio-motak

Ekuazio polinomikoak

Ekuazio polinomikoetan polinomioak agertzen dira berdintzaren bi aldeetan. Adierazpen orokorra honako hau da:

$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_2{x}^2+a_{1}x+a_0=0$

Gehienez, ekuazioaren maila den adina erro edo soluzio izaten du ekuazio polinomikoak; hau da, gure ekuazioaren maila $n$baldin bada, ekuazioak $n$soluzio edo gutxiago izango ditu.

Adibideak:

• $x^5-4x^4+16x^2-16x=0$5. mailako ekuazioa da, eta gehienez 5 soluzio izango ditu. Soluzioak: $x_1=0,x_2=2$eta $x_3=-2$.
• $x^2-1=0$2. mailako ekuazioa da, eta gehienez 2 soluzio izango ditu. Soluzioak: $x_1=1$eta $x_2=-1$.

Lehenengo mailako ekuazioak

$ax+b=0,a\ne 0$ erako ekuazioak dira, eta $x=-\frac{b}{a}$formako soluzioa dute.

Honako hauek dira ekuazioaren soluzioa edo erroa lortzeko urratsak:

1. Berdintzaren alde batean, ezezagunak dituzten gaiak jartzen dira, eta beste aldean, berriz, gai askeak.
2. Berdintzaren alde bakoitzeko gaiak laburtzen dira, euren arteko batuketak eta kenketak eginez.
3. Ezezaguna bakantzen da: $x$biderkatzen duen gaia beste aldera pasatzen da, zatituz.
4. Posiblea bada, zatikia laburtzen da.

Adibidea:

• $6x-2-x=-5+3x+7$

Ebazteko urratsak:

1. Ezezagunak dituzten gaiak berdintzaren ezkerraldean jartzen dira, eta gai askeak, berriz, eskuinaldean: $6x-x-3x=-5+7+2$
2. Alde bakoitzeko adierazpena laburtzen da, gaiak batuz eta kenduz: $2x=4$
3. $x$biderkatzen duen gaia berdintzaren beste aldera pasatzen da zatituz: $x=\frac{4}{2}$
4. Zatikia laburtzen da: $x=2$.

Bigarren mailako ekuazioak

Hau da bigarren mailako ekuazioen adierazpen orokorra: $a{x}^2+bx+c=0,a\ne 0$.

Hortaz, lehenengo zeregina ekuazioari adierazpen orokorraren itxura ematea da.

Behin adierazpen orokorra izanda, kontuan hartu behar da bigarren mailako ekuazioen ebazpenek bi emaitza dituztela beti (errealak zein konplexuak izan daitezke). Emaitza horiei erro deritze.

Erroak lortzeko, honako formula hau dago:

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}(1)$

$\pm$(plus,minus) zeinuarekin bereizten dira bi erroak:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ eta $x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Askotan, ebatzi beharreko ekuazioak bigarren maila duenean, erroak aurkitzeko, $(1)$ formula erabiltzen da zuzenean. Baina $c=0$edo $b=0$denean, ez da beharrezkoa formula hori erabiltzea, eta modu sinpleago batean ebatz dezakegu ekuazioa. Ikus dezagun:

$c=0$ denean, gure ekuazioak honako itxura izango du: $a{x}^2+bx=0$

Ebazteko pausoak:

1. Biderkagai komun moduan aterako dugu $x$: $x(ax+b)=0$
2. Biderkadura zero izan dadin, biderkagaietako batek, behintzat, zero izan behar du. Orduan, bi biderkagaiak zerora berdinduz, honako hau daukagu;
   1. Alde batetik, lehenengo biderkagaia hartuz: $x=0⟹x_1=0$
   2. Bestetik, bigarren biderkagaia hartuz: $ax+b=0$ eta lehenengo mailako ekuazio hori askatuz (goian ikasi den moduan), bigarren erroa lortzen da: $x_2=\frac{-b}{a}$

$b=0$denean, ekuazioak honako itxura hau hartzen du: $a{x}^2+c=0$

Ebazteko pausoak:

1. $x$ askatuko dugu: $x=\pm \sqrt{\frac{-c}{a}}$. Bistakoa da soluzioak hauek direla: $x_1=\sqrt{\frac{-c}{a}}$ eta $x_2=-\sqrt{\frac{-c}{a}}$

Horretaz gain, aipatzekoa da $c<0$ denean soilik existitzen direla soluzio errealak.

Adibideak:

• $x^2-3x+6=2x$

Ebazteko pausoak:

1. Adierazpen orokorra lortzen da: $x^2-3x+6=2x⟹x^2-5x+6=0$
2. $a\ne 0,b\ne 0,c\ne 0$ direnez, formula orokorra aplikatzen da eta erroak lortzen dira:

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-(-5)\pm \sqrt{5^2-4\cdot 1\cdot 6}}{2\cdot 1}=\frac{5\pm \sqrt{25-24}}{2}=\frac{5\pm \sqrt{1}}{2}=\frac{5\pm 1}{2}⟹$

$⟹x_1=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3eta{x}_2=\frac{5-1}{2}=\frac{4}{2}=2$

• $x^2=1$

Ebazteko pausoak:

1. Adierazpen orokorra lortzen da: $x^2-1=0$eta $b=0$denez, ez da formula orokorra erabiltzen.
2. $x$askatzen da eta erroak lortzen dira:

$x^2-1=0⟹x^2=1⟹x=\pm \sqrt{1}⟹x_1=+\sqrt{1}=1eta{x}_2=-\sqrt{1}=-1$

• $x^2+4x=0$

Adierazpen orokorraren parekidea da, eta $c=0$ denez, ez da formula orokorrera $(1)$jo behar.

Ebazteko pausoak:

1. Biderkagai komun bezala ateratzen da $x$. Orduan: $x^2+4x=0⟹x(x+4)=0$
2. Biderkadura zero izan dadin, gutxienez, biderkagai batek zero izan behar du. Hortaz, biderkagai bakoitza zerora berdinduz, erroak lortzen dira.

$x(x+4)=0⟹x=0etax+4=0⟹x_1=0eta{x}_2=-4$

Hirugarren mailako edo maila altuagoko ekuazioak

Ezezagun bakar bateko n. mailako ekuazio batek honako itxura izango du:

$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+...+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0=0,a_n\ne 0$

Ruffiniren erregela

Txantiloi:Sakontzeko Hirugarren mailako (edo altuagoko) ekuazioak ebazteko, orokorrean, Ruffini-ren erregela erabiltzen da. Adibidea:

• $x^3+6x^2-11x+6=0$

Ebazpena:

1.Gai bakoitzari dagokion koefizientea lerro zuzen batean jartzen da:

$\begin{array}{ccccc}|& 1& 6& 11& 6\\ |\\ |\end{array}$

2. Eskuineko zenbakiaren zatitzaileak zeintzuk diren kontuan hartuz, hau da, kasu honetan $\pm 1,\pm 2,\pm 3$, zenbakia zero izatea lortu behar da:

$\begin{array}{cccccc}& |& 1& 6& 11& 6\\ & |\\ -2& |& & -2& -8& -6\\ \\ & & 1& 4& 3& 0\end{array}$

3. Aurreko emaitzatik abiatuz, pausoak errepikatzen dira behin eta berriro, emaitzak zenbaki bakar bat eta zero bat lortu arte:

$\begin{array}{ccccc}& |& 1& 4& 3\\ & |\\ -3& |& & -3& -3\\ \\ & & 1& 1& 0\end{array}$

$\begin{array}{cccc}& |& 1& 1\\ & |\\ -1& |& & -1\\ \\ & & 1& 0\end{array}$

Ruffiniren metodoa erabiliz, ebatzitako ekuazioaren erroak lortu dira. Hau da, ekuazioaren erroak honakoak dira:

$x_1=-2$

$x_2=-3$

$x_3=-1$

Birkarratuak

4. mailako ekuazio bereziak dira ekuazio birkarratuak, zein 1. eta 3. mailako koefizientea 0 baita. Adierazpen orokorra honako hau da:

$a{x}^4+b{x}^2+c=0(2)$

Ebazpena:

Honako hauek dira ekuazioa birkarratuen soluzioak edo erroak lortzeko ohiko urratsak:

1. Aldagai-aldaketa egiten da: $x^2=z$. Beraz, ekuazio hau lortzen da: $a{z}^2+bz+c=0$.
2. Problema 2. mailako ekuazio baten ebazpenera murrizten da; $z$-ren balioak lortzen dira.
3. $z_1$eta $z_2$bigarren mailako ekuazioaren erroak izanik, aldagai-aldaketa desegiten da eta hasierako ekuazioaren $(2)$ 4 erroak lortzen dira:
   • $x_1=+\sqrt{z_1}$
   • $x_2=-\sqrt{z_1}$
   • $x_3=+\sqrt{z_2}$
   • $x_4=-\sqrt{z_2}$

Adibidea:

• $x^4-5x^2+4=0$

Ebazteko urratsak:

1. Aldagai-aldaketa egiten da: $x^2=z$. Beraz, ekuazio hau lortzen da: $z^2-5z+4=0$.
2. Bigarren mailako ekuazioa ebazten da. Erroak: $z_1=1,z_2=4$.
3. Aldagai-aldaketa desegiten da, adibideko ekuazioaren 4 erroak lortzen dira:
   • $x_1=1$
   • $x_2=-1$
   • $x_3=2$
   • $x_4=-2$

Ekuazio esponentzialak

Ezezaguna zenbaki baten berretzailean agertzen da, ekuazio esponentzialetan.

Ekuazio logaritmikoak

Ekuazioan logaritmo bat agertzen bada, ekuazio logaritmiko deritzo.

Ariketak

• Ekuazioen ebazpenak
• 
  Ekuazio baliokideak ulertzeko bideoa.
• 
  Lehenengo mailako ekuazio baten ebazpena lantzeko ariketa.
• 
  Lehenengo mailako ekuazio baten ebazpena lantzeko ariketa II.
• 
  Ekuazio linealen adierazpen grafikoa ulertzeko ariketa.
• 
  Aldagai bakarreko ekuazio baten ebazpena.
• 
  Bigarren mailako ekuazioak ulertzeko bideoa.
• 
  Bigarren mailako ekuazio baten ebazpena lantzeko ariketa.
• 
  Bigarren mailako ekuazioak ulertzeko bideoa.
• 
  Bigarren mailako ekuazio baten ebazpena lantzeko ariketa II.
• 
  Bigarren mailako ekuazioaren soluzio kopurua kalkulatzea diskriminatzailea erabilita.
• 
  Ekuazio birkarratuak ebazteko ariketa.

Ikus, gainera

• Ekuazio sistemak
• Ekuazio diferentzialak
• Inekuazioak