Faktorial

Edozein n zenbakiaren faktoriala, n zenbaki arrunta izanik, 1 eta n artean dauden zenbaki natural guztien biderkaduraren emaitza da. Adibidez:

$5!=1\times 2\times 3\times 4\times 5$

n! notazioa Christian Kramp matematikariak sortu zuen.

Adierazpen orokorra

$n!=1\times 2\times 3\times ...\times (n-1)\times n$

$n!=\prod _{k=1}^{n}k$

Lehenengo faktorialak

$n$	$n!$
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40.320
9	362.880
10	3.628.800

Zero faktoriala (0!)

0!=1 definituta dago ondorengo propietatea bete dadin:

$[(n-1)!=\frac{n!}{n}]=[n\cdot (n-1)!=n!]$

Propietate honen bidez, ikus dezakegu adibidez 4!=24 izango dela, jakinik 5!=120:

$\frac{5!}{5}=\frac{120}{5}=24$

Erregela hau n=1-ri aplikatuz gero, 0!-ren balioa lor dezakegu:

$0!=\frac{1!}{1}=\frac{1}{1}=1$

Propietate nagusiak

1. m < n bada (zenbaki arruntak izanik), orduan m! < n! izango da.
2. $n!<{\left(\frac{n+1}{2}\right)}^n$ edozein n > 1 -entzako.
3. m < n bada, orduan lehenengo propietatea kontuan harturik, m! n!-ren zatitzailea izango da: n! = n(n-1)...(m+1).m!
4. n-m zenbakia n baino txikiagoa izanik, hirugarren propietatean m-ren ordez n-m ordezkatuz ondoko adierazpena lortuko dugu: n! = n(n-1)...(n-m+1).(n-m)

Aplikazioak

Faktorialak konbinatoria izeneko matematikaren adarrean erabiltzen dira batez ere. Hauek, n zenbaki ordenatzeko aukera desberdinen kopurua ematen digute, errepikapenik eman gabe. Aurreko adibidean, n=5 harturik, 120 aukera desberdin edukiko ditugu 5 zebaki ordenatzeko.

Newtonen binomioan ere erabili ohi dira, (a + b)ⁿ -ren garapenean koefizienteak emateko; non $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$-k koefiziente binominala adierazten duen:

$(a+b{)}^n=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})a^n+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})a^{n-1}b+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})a^{n-2}{b}^2+\cdots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-1})a{b}^{n-1}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})b^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^{n-k}{b}^k$

$C_{n,k}=\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}$

n -k oso balio handiak hartzen dituen kasuetarako, n-ren faktorialerako hurbilketa bat existitzen da, Stirling-en formulaz ezaguna dena:

$n!\approx \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n(1+\frac{1}{12n}+\frac{1}{288n^2}+\cdots )$

Formula honek, n gero eta handiagoa izan, n! orduan eta azkarrago ebaluatzen ahalbidetzen digu.

Ikus, gainera

• Stirlingen hurbilketa