Feller–Tornier konstante

Matematikan, Feller–Tornier konstantea C_FT da 1 baino potentzia handiagoan hazitako faktore primario kopuru bikoitzeko osoko positibo guztien dentsitatea (lehen potentzian soilik agertzen den edozein faktore lehengusu kontuan hartu gabe). William Feller (1906–1970) eta Erhard Tornier (1894–1982) matematikarien izena darama.

$\begin{array}{cc}{C}_{\text{FT}}& =\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{2}{p_n^2})\right)\\ & =\frac{1}{2}(1+\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{2}{p_n^2}))\\ & =\frac{1}{2}(1+\frac{1}{\zeta (2)}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{1}{p_n^2-1}))\\ & =\frac{1}{2}+\frac{3}{{\pi }^2}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{1}{p_n^2-1})=0,66131704946\dots \end{array}$

Omega funtzioa

Omega funtzioa honek ematen du:

$\mathrm{\Omega }(x)=x\text{-en faktore lehenenn kopurua multiplizitateen arabera kontatuta}$

Iversonen parentesia

$[P]=\{\begin{array}{cc}1& \text{baldin }P\text{ egia,}\\ 0& \text{baldin }P\text{ gezurra.}\end{array}$

Notazio hauekin,

$C_{\text{FT}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\sum _{k=1}^n[\mathrm{\Omega }(k)mod2=0]}{n}=\frac{1}{2}$

Zeta lehenaren funtzioa

Zeta lehenaren funtzioa honek ematen du:

$P(s)=\sum _{p\text{ lehena bada}}\frac{1}{p^s}.$

Feller-Tornier konstanteak hau betetzen du:

$C_{\text{FT}}=\frac{1}{2}(1+\exp (-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{n}P(2n)}{n})).$