Hondarraren txinatar teorema

Hondarraren teorema txinatarra kongruentzien ekuazio sistemak ebazteko balio duen teorema da. Teorema hau aplikatzeko baldintza bakarra ondokoa da: ekuazioen moduluak beraien artean lehenak izan behar dira, hau da, $zkh(m_1,m_2)=1$ izan behar da m ekuazio sistemetako edozein ekuazioaren modulua izanik.

Hondarraren teorema txinatarrak zera dio: demagun kongruentzia sistema bat dugula eta bertako ekuazio guztien moduluak beraien artean lehenak direla. Orduak sistemak soluzio bakarra izango du $M=m_1\cdot m_2\cdot ...\cdot m_n$ moduluarekiko. Existitzen diren beste soluzio guztiak $x\equiv y(modM)$ motakoak izango dira.

Frogapena

Kongruentzia sistema bat:

$x\equiv b_1$ (mod $m_1$)

$x\equiv b_2$ (mod $m_2$)

$\cdots$

$x\equiv b_n$ (mod $m_n$)

non $zkh(m_i,m_j)=1$ den $i\ne j$ denean

Izan bitez $M=m_1\cdot m_2\cdot \dots \cdot m_n$ modulu guztien biderkadura eta $M_j=M/m_j(j=1,2,\dots ,n)$ $m_j$ ez diren moduluen biderkadura. Hipotesiagatik badakigu $zkh(m_i,m_j)=1i\ne j$ denean, beraz, $zkh(M_j,m_j)=1$ da. Ondorioz, $M_{j}x\equiv 1$ (mod $m_j$)-k soluzio bat du eta bakarra da $m_j$ moduluarekiko. Soluzio horri $x_j$ deituko diogu.

$x=b_1{M}_1{x}_1+\dots +b_n{M}_n{x}_n$ sistema osoaren soluzioa izango da. Soluzioa dela ikustekoa $x\equiv b_i$ (mod $m_i$) betetzen dela ikusiko dugu. $M_n$ bakoitza $m_i$-gatik zatigarria da $M_i$ izan ezik. Beraz $b_1{M}_1{x}_1+\dots +b_n{M}_n{x}_n\equiv b_i{M}_i{x}_i$ (mod $m_i$). $x_i$-k $M_i{x}_i\equiv 1$ (mod $m_i$) betetzen duenez $b_1{M}_1{x}_1+\dots +b_n{M}_n{x}_n\equiv b_i{M}_i{x}_i\equiv b_i$ (mod $m_i$). Beraz, $x$ soluzioa da.

$M$ moduluarekiko bakarra dela ziurtatzeko, x eta y, bi soluzio hartuko dutugu. Bi horiek soluzioak badira $x\equiv b_j$ (mod $m_j$) eta $y\equiv b_j$ (mod $m_j$) $j=1,2,\dots ,n$ guztietarako. Beraz, $x\equiv y$ (mod $m_j$) $j=1,2,\dots ,n$ guztietarako. Moduluak elkarrekiko lehenak direnez $x\equiv y$ (mod $M$) dugu. Orduan, badakigu sistemaren soluzio guztiak kongruenteak direla $M$ moduluarekiko.

Adibidea

Lehen esan bazala, kongruentzia linealetako sistemak ebazteko balio du teorema honek. Ebatzi dezagun, bat hondarraren teorema txinatarra nola aplikatzen den ikusteko. Demagun, hondako kongruentzia sistema dugula:

$\{\begin{array}{c}x\equiv 2(\mathrm{mod}5)\\ x\equiv 4(\mathrm{mod}7)\\ x\equiv 3(\mathrm{mod}9)\end{array}$

Lehenik eta behin kalkulatu dezagun $M_i=5\times 7\times 9=315$.

Ondoren kalkulatu desagua modulu bakoitza, oro har, $m_j$ .

$m_1=63$

$m_2=45$

$m_3=35$

Has gaitezen kongruentzia lineal bakoitza bere aldetik aztertzen:

1.kasua

$x_1\equiv 1(\mathrm{mod}5)$

$x_1\equiv 0(\mathrm{mod}63)$

Bezouten identitatea erabiliz: $1=3-2=3-(5-3)=2\times 3-5=2(63-5\times 12)-5=263-25\times 5$

Beraz, $x_1=2\times 63$

2.kasua

$x_2\equiv 1(\mathrm{mod}7)$

$x_2\equiv 0(\mathrm{mod}45)$

Bezouten identitatea erabiliz: $1=-2\times 45+13\times 7$

Beraz, $x_2=2\times -90$

3.kasua

$x_3\equiv 1(\mathrm{mod}9)$

$x_3\equiv 0(\mathrm{mod}35)$

Bezouten identitatea erabiliz: $1=-35+4\times 9$

Beraz, $x_3=-35$

Teoremaren frogan erabili dugun notazioarekin,$x_1=2\times 63,x_2=-90,x_3=-35$. Horiekin soluzio bat idatziko dugu:

$x=2\times 63\times 2-90\times 4-35\times 3=102(\mathrm{mod}315)$

Sistemaren soluzio guztiak $x=102+315kdira,k\in Z$ edozein izanik

Erabilpenak

Segiden zenbaketa

Hondarraren txinatar teorema Gödelen segiden zenbaketarako erabiltzen da, Gödel-en osatugabetasunaren teoremak frogatzeko erabili zenean.

Fourier-en transformatu azkarra (FTT)

Faktore lehenaren FTT algoritmoak hondarraren teorema txinatarra erabiltzen du $n_1{n}_2$ tamainuko Fourier-en transformatu azkarraren zenbaketa txikitzeko $n_3{n}_4$ tamainuko zenbaketa batera, $n_3$ eta $n_4$ elkarrekiko lehenak direla zihurtatuz.

Enkriptatzea

RSAren algoritmo gehienek hondarraren teorema txinatarra erabiltzen dute HTTPS ziurtagiriak sinatzeko eta deszifratzeko.

Hondarraren teorema txinatarra mezu ezkutuak bidaltzeko ere erabil daiteke. Pertsona talde batean mezu batzuk partekatzean datza. Denek batera bidalitako mezu horietatik mezu sekretua lor dezakete. Mezu horietako bakoitza kongruentzia bat da, eta kongruentzia sistema ebaztean hondarraren teorema txinatarra erabiliz, mezu sekretua lortzen da.