Kalkuluaren oinarrizko teorema

Kalkuluaren oinarrizko teorema (edo Kalkulu inegralaren oinarrizko teorema) funtzio baten deribazioa eta integrazioa alderantzizko eragiketak direla baieztatzean datza. Baieztapen horrek edozein funtzio jarraitu integragarrirako egiaztatzen du haren integralaren deribatua hura bera dela. Teorema hori funtsezkoa da matematikaren adarretako bat den analisi matematiko edo kalkulu deiturikoan.

Teorema horren ondorio zuzena Barrowren erregela da, Kalkuluaren bigarren oinarrizko teorema ere deiturikoa. Bigarren teorema horren bidez funtzio baten integrala kalkula dezakegu integratu beharreko funtzioaren jatorrizkoa erabiliz.

Arkimedesek eta antzinako beste matematikariek bolumenen, azaleren eta luzera makurren gutxi gorabeherako kalkulua egiteko metodoak bazituzten ere, hasiera batean Isaac Barrow matematikari ingelesak garatutako ideia bati esker eta gero Isaac Newtonen eta Gottfried Leibnizen ekarpenei esker teorema hori enuntziatu eta frogatu ahal izan zuten.

Kalkulu integralaren oinarrizko teoremak

Lehenengo oinarrizko teorema

Frogapena

Lema garrantzitsua:

Demagun $f$ funtzioa $[a,b]$ tartean integragarria dela eta $m\le f(x)\le M\mathrm{\forall }x\in [a,b]$, orduan:

$m(b-a)\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt\le M(b-a)$

Frogapenaren hasiera

Hipotesia:

Biz $c\in (a,b)$.

Biz $[a,b]$ tartean integragarria eta c puntuan jarraitua den $f$ funtzioa.

Biz $[a,b]$ tartean honela definitutako $F$ funtzioa: $F(x)=\underset{\alpha }{\overset{x}{\int }}f(t)dt$, non $\alpha \in [a,b]$ den.

Tesia:

F'(c)=f(c)

Definizioz hau daukagu: $F^{\prime }(c)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{F(c+h)-F(c)}{h}$.

Demagun h>0 dela, orduan $F(c+h)-F(c)=\underset{c}{\overset{c+h}{\int }}f(t)dt$.

$m_h$ eta $M_h$ honela definituta:

$m_h=\inf \{f(x)|c\le x\le c+h\}$,

$M_h=\sup \{f(x)|c\le x\le c+h\}$

'Lema' aplikatuta, hau daukagu:

$m_h\cdot h\le \underset{c}{\overset{c+h}{\int }}f(t)dt\le M_h\cdot h$.

Beraz,

$m_h\le \frac{F(c+h)-F(c)}{h}\le M_h$

Orain demagun $h<0$ dela, izan bitez:

${m^{*}}_h=\inf \{f(x)|c+h\le x\le c\}$,

${M^{*}}_h=\sup \{f(x)|c+h\le x\le c\}$.

'Lema' aplikatuta, hau daukagu:

${m^{*}}_h\cdot (-h)\le \underset{c+h}{\overset{c}{\int }}f(t)dt\le {M^{*}}_h\cdot (-h)$.

Honako hau betetzen denez:

$F(c+h)-F(c)=\underset{c}{\overset{c+h}{\int }}f(t)dt=-\underset{c+h}{\overset{c}{\int }}f(t)dt$,

Orduan:

${m^{*}}_h\cdot h\ge F(c+h)-F(c)\ge {M^{*}}_h\cdot h$.

$h<0$ denez gero, orduan hau daukagu:

${m^{*}}_h\le \frac{F(c+h)-F(c)}{h}\le {M^{*}}_h$.

Eta $f$ funtzioa c puntuan jarraitua denez, orduan:

$\underset{h\to 0}{\lim }{m}_h=\underset{h\to 0}{\lim }{M}_h=\underset{h\to 0}{\lim }{m^{*}}_h=\underset{h\to 0}{\lim }{M^{*}}_h=f(c)$,

Azkenean, guzti horrek teorema frogatzera garamatza:

$F^{\prime }(c)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{F(c+h)-F(c)}{h}=f(c)$.

Adibideak

$F(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}{t}^{2}dt\Rightarrow F^{\prime }(x)=x^2$

$H(x)=\underset{10}{\overset{\exp 3x}{\int }}\sin (t)dt\Rightarrow H^{\prime }(x)=\sin (e^{3x})e^{3x}3$

$G(x)=\underset{0}{\overset{x^2}{\int }}\arcsin (t)dt\Rightarrow G^{\prime }(x)=\arcsin (x^2)2x$

Bigarren oinarrizko teorema

Barrowren erregela ere deiturikoa, Isaac Barrowren omenez.

Teorema hau askotan erabiltzen da integral mugatuak ebaluatzeko.

Frogapena

Hipotesia:

Biz $[a,b]$ tartean jarraitua den $f$ funtzioa

Biz $[a,b]$ tartean diferentziagarria den $g$ funtzioa, non $g^{\prime }(x)=f(x)\mathrm{\forall }x\in [a,b]$ den

Tesia:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=g(b)-g(a)$

Frogapena:

Izan bedi

$F(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt$.

Kalkuluaren lehenengo oinarrizko teorema dela medio, hau daukagu:

$F^{\prime }(x)=f(x)=g^{\prime }(x)\mathrm{\forall }x\in [a,b]$.

Beraz:

$\mathrm{\exists }K\in ℝ$ non $\mathrm{\forall }x\in [a,b],F(x)=g(x)+K$ den.

Hau aintzat hartuta:

$0=F(a)=g(a)+K$

Eta hortik segitzen denez $c=-g(a)$ da; beraz:

$F(x)=g(x)-g(a)$.

Bereziki, baldin $x=b$ bada, hau dugu:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt=F(b)=g(b)-g(a)$

Adibideak

$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\cos (x)dx=\sin (\pi )-\sin (0)=0$

$\underset{1}{\overset{e}{\int }}\frac{dx}{x}=\ln (e)-\ln (1)=1$

Ikus, gainera

• Barrowren erregela
• Integrala
• Integrazio metodoak
• Leibnizen erregela
• Riemannen integrala