Katearen erregela

Katearen erregela edo katearen araua, bi funtzioren konposizioaren deribatua lortzeko formula da. Kalkulu aljebraikoan deribatuen kalkulua egiteko erabilgarria da, funtzio konposatuak daudenean.

Arauaren deskribapena

Intuitiboki, y aldagaia badugu, eta bigarren u aldagai baten menpe badago (y=f(u)), aldi berean hirugarren aldagai x baten menpe dagoena (u=g(x)); y-ren x-rekiko aldaketa-tasa kalkula daiteke, y-ren u-rekiko aldaketa tasa eta u-ren x-rekiko aldaketa-tasaren biderkadura eginez.

Deskribapen aljebraikoa

Termino aljebraikoetan, katearen erregeak (aldagai bakarreko funtzioetarako) honakoa adierazten du: $f$ deribagarria baldin bada $x$aldagaiarekiko eta $g$ funtzioa deribagarria bada $f(x)$aldagaiarekiko, orduan $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ funtzio konposatua deribagarria da $x$aldagaiarekiko. Deribatuaren kalkulua honela egin daiteke:

$(g\circ f{)}^{\prime }(x)=\frac{d(g\circ f)}{dx}=\frac{dg(f(x))}{dx}=\frac{d}{dx}g(f(x))=g^{\prime }(f(x))\cdot f^{\prime }(x)$

Leibniz notazioa

Bestela, Leibniz notazioan, katearen araua honela adieraz daiteke:

$\frac{dg}{dx}=\frac{dg}{df}\frac{df}{dx}$

non $\frac{dg}{df}$ adierazpenak dio deribatu hori egitean g funtzioa f-ren araberako aldagai askea balitz bezala aztertzen dela.

Goi ordenako deribatuak

Faà di Bruno formulek katearen araua goi mailako deribatuetara orokortzen dute. Hauetako batzuk hauek dira:

$\frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\frac{dg}{dx}$

$\frac{d^{2}f}{d{x}^2}=\frac{d^{2}f}{d{g}^2}{\left(\frac{dg}{dx}\right)}^2+\frac{df}{dg}\frac{d^{2}g}{d{x}^2}$

$\frac{d^{3}f}{d{x}^3}=\frac{d^{3}f}{d{g}^3}{\left(\frac{dg}{dx}\right)}^3+3\frac{d^{2}f}{d{g}^2}\frac{dg}{dx}\frac{d^{2}g}{d{x}^2}+\frac{df}{dg}\frac{d^{3}g}{d{x}^3}$

$\frac{d^{4}f}{d{x}^4}=\frac{d^{4}f}{d{g}^4}{\left(\frac{dg}{dx}\right)}^4+6\frac{d^{3}f}{d{g}^3}{\left(\frac{dg}{dx}\right)}^2\frac{d^{2}g}{d{x}^2}+\frac{d^{2}f}{d{g}^2}\{4\frac{dg}{dx}\frac{d^{3}g}{d{x}^3}+3{\left(\frac{d^{2}g}{d{x}^2}\right)}^2\}+\frac{df}{dg}\frac{d^{4}g}{d{x}^4}$

Ikus, gainera

• Deribatu

Kanpo estekak

• Txantiloi:MathWorld Txantiloi:MathWorld Txantiloi:MathWorld