Koadrika

Geometrian, koadrika, edo gainazal koadrika, bigarren mailako ekuazio batek eragiten duen gainazala da, hots, itxura honetakoa: $P (x_{1}, x_{2} . . . x_{n}) = 0$

non P bigarren mailako polinomio bat den $x_{1}, x_{2} . . . x_{n}$ koordenatuetan.

Zehazten ez bada, ohiko espazio tridimentsional errealeko gainazala da, koordenatu-sistema ortogonal eta unitario, eta koordenatuak hauek dira: x, y, z.

Historia

Antzineko Greziako matematikariak izan ziren lehenengoak koadrikak ikasten, konoa (koadrika bat) eta bere ebakidurak, plano bidimentsionaleko koadrikak direnak, baina, ez zuten erabili ekuaziorik.

Definizio aljebraikoa

koadrika edo gainazal koadrika bat, hipergainazal D-dimentsional bat da, espazio-aldagai (koordenatuak) dituen bigarren mailako ekuazio batek adierazita. Koordenatu horiek ${x_{1}, x_{2}, . . . x_{D}}$ badira, orduan espazio horretako ohiko koadrikak ekuazio aljebraiko hau dauka:

\sum_{i, j = 1}^{D} Q_{i, j} x_{i} x_{j} + \sum_{i = 1}^{D} P_{i} x_{i} + R = 0

non Q (D) dimentsioko matrize karratu bat den , P (D) dimentsioko bektore bat eta R konstante bat. Q, P eta R, orokorrean, errealak edo konplexuak izan arren, koadrika bat defini daiteke edozein eraztunaren gainean.

Ekuazio kartesiarra

Gainazal koadrikaren ekuazio kartesiarra honela da:

A x^{2} + B y^{2} + C z^{2} + D x y + E y z + F x z + G x + H y + I z + J = 0

non A-tik J-rako koefizienteak errealak diren, eta A,B,C,D,E,F ez dira guztiak nuluak.

Ekuazio normalizatua

Koadrika tridimentsional (D = 3) baten ekuazio normalizatua, espazio tridimentsionaleko (0, 0, 0) jatorrian zentratua, hau da:

\pm \frac{x^{2}}{a^{2}} \pm \frac{y^{2}}{b^{2}} \pm \frac{z^{2}}{c^{2}} \pm 1 = 0

Koadrika motak

Gainazal koadrika propioak
Elipsoidea	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1$
Esferoidea (elipsoidearen kasu berezia)	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{z^{2}}{b^{2}} = 1$
Esfera (esferoidearen kasu berezia)	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{z^{2}}{a^{2}} = 1$
Paraboloide eliptikoa	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} - z = 0$
Paraboloide zirkularra (paraboloide eliptikoaren kasu berezia)	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} - z = 0$
paraboloide hiperbolikoa	$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} - z = 0$
Hiperboloide azalbakarra edo hiperbolikoa	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1$
Azal biko hiperboloidea edo hiperboloide eliptikoa	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{z^{2}}{c^{2}} = - 1$
Gainazal koadrika endekatuak
Kono eliptikoa	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{z^{2}}{c^{2}} = 0$
Kono Zirkularra (kono eliptikoaren kasu berezia)	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{z^{2}}{c^{2}} = 0$
Zilindro eliptikoa	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$
Zilindro zirkularra (zilindro eliptikoaren kasu berezia)	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1$
Zilindro hiperbolikoa	$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$
Zilindro parabolikoa	$x^{2} + 2 a y = 0$