Koefiziente binomial

Konbinatorian, koefiziente binomiala [n] multzoak duen k tamainako azpimultzo kopurua.

$C_{n} = (\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}, n, k \geq 0$

Gainera, Newtonen Binomioaren formula erabiliz, koefiziente binomiala $(1 + x)^{n}$ polinomioan $x^{k}$ monomioaren koefiziente da.

(x + y)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{n - k} y^{k}

Kalkulua

n zenbaki oso ez negatiboa eta k zenbaki oso bat izanik, koefiziente binomiala honela definitutako zenbaki arrunta da:

(\binom{n}{k}) = \frac{n \cdot (n - 1) \dots (n - k + 1)}{k \cdot (k - 1) \dots 1} = \frac{n!}{k! (n - k)!}; n \geq k \geq 0 (1)

$(\binom{n}{0}) = 1 = (\binom{n}{n})$
Baldin eta $k > n$ bada, $(\binom{n}{k}) = 0$
Baldin eta $0 \leq k \leq n$ bada, $(\binom{n}{k}) = (\binom{n}{n - k})$
$(\binom{n}{k}) = (\binom{n - 1}{k}) + (\binom{n - 1}{k - 1})$
Baldin eta $0 \leq r \leq k \leq n$ bada, $(\binom{n}{k}) (\binom{k}{r}) = (\binom{n}{r}) + (\binom{n - r}{k - r})$
Baldin eta $1 \leq k \leq n$ bada, $(\binom{n}{k}) = \frac{n}{k} (\binom{n - 1}{k - 1})$
Baldin eta $1 \leq k \leq n$ bada, $(\binom{n}{k}) = \frac{n - k + 1}{k} (\binom{n}{k - 1})$
$(\binom{n}{0}), (\binom{n}{1}), (\binom{n}{2}), . . ., (\binom{n}{n}),$ seguida gorakorra da bere maximoraino eta gero beherakorra. Baldin n bikoitia bada, maximoa $(\binom{n}{\frac{n}{2}})$ da; bestela maximoak $(\binom{n}{\frac{n - 1}{2}})$ eta $(\binom{n}{\frac{n + 1}{2}})$ dira.

$(\binom{n}{0}) + (\binom{n}{1}) + (\binom{n}{2}) + . . . + (\binom{n}{n}) = 2^{n}$
$(\binom{n}{0}) + (\binom{n}{2}) + (\binom{n}{4}) + . . . = (\binom{n}{1}) = (\binom{n}{3}) + (\binom{n}{5}) + . . . = 2^{n} - 1$
$(\binom{n}{0}) - (\binom{n}{1}) + (\binom{n}{2}) - . . . + (- 1)^{n} (\binom{n}{n}) = 0, n \geq 1$
$(\binom{n}{k}) = (\binom{n - 1}{k}) + (\binom{n - 2}{k - 1}) + (\binom{n - 3}{k - 2}) . . . + (\binom{n - (k + 1)}{0})$
$(\binom{n}{k}) = (\binom{n - 1}{k - 1}) + (\binom{n - 2}{k - 1}) + (\binom{n - 3}{k - 1}) . . . + (\binom{k - 1}{k - 1})$
Vandermonderen identitatea. Izan bitez $m, n, r \geq 0$ , $(\binom{m + n}{r}) = \sum_{k = 0}^{r} (\binom{m}{k}) (\binom{n}{r - k}) = (\binom{m}{0}) (\binom{n}{r}) + (\binom{m}{1}) (\binom{n}{r - 1}) + (\binom{m}{2}) (\binom{n}{r - 2}) + . . . + (\binom{m}{r}) (\binom{n}{0})$
$(\binom{2 n}{n}) = \sum_{k = 0}^{n} {(\binom{n}{k})}^{2}$

(\binom{7}{3}) = \frac{7!}{3! (7 - 3)!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1) (4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35 .

Koefiziente binomialak (x + y)ⁿ binomioaren garapeneko koefizienteak dira (hortik datorkio bere izena):

(x + y)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{n - k} y^{k} . (2)