Koordenatu esferiko

Koordenatu esferikoen elementuak

Koordenatu esferikoen sistema koordenatu polarren ideia berean oinarritzen da eta puntu baten posizio espaziala distantzia eta bi angelu erabiliz zehazteko erabiltzen da. Ondorioz, P puntu bat hiru magnitudeen multzo baten bidez adierazten da: $r$ erradioa, $\theta$ angelu polarra edo kolatitudea eta $\phi$ azimutula.

Autore batzuek kolatitudearen ordez latitudea erabiltzen dute, eta kasu horretan bere marjina -90°-tik 90°-ra bitartekoa da (-π/2-tik π/2-ra radian), zeroa XY planoa izanik. Azimutalaren neurria ere alda daiteke, angelua erlojuaren orratzen noranzkoan edo erlojuaren aurkako noranzkoan neurtzen den arabera, eta 0°-tik 360°-ra (0-tik 2π-ra radianetan) edo -180°-tik +180°-ra (-π-tik π-ra).

Egile batek zein konbentzio erabiltzen duen jakin beharko zenuke.

Erabilitako hitzarmenak

Nazioarteko hitzarmena

Estatubatuar ez diren fisikari, ingeniari eta matematikari gehienek idazten dute:

• $\phi$, azimutala : 0°-tik 360°-ra
• $\theta$, kolatitudea : 0°-tik 180°-ra

Hau da artikulu honetan jarraitzen dugun konbentzioa. Nazioarteko sisteman, hiru koordenatuen aldakuntza-eremuak hauek dira:

$0\le r<\mathrm{\infty }0\le \theta \le \pi 0\le \phi <2\pi$

Koordenatu erradiala beti da positiboa. $r$-ren balioa murriztuz 0 baliora iristen bada, hortik aurrera, $r$; berriro handitzen da, baina $\theta$ balio du π- $\theta$ eta $\phi$ π radianetan handitzen edo gutxitzen da.

AEBetako hitzarmena

Gaur egun, AEBetan erabiltzen den konbentzioa ez da europarraren bera. Angelu azimutala adierazteko $\theta$ erabiltzen da, eta polarra, latitudea edo kolatitudea adierazteko $\phi$ erabiltzen da.

Beste koordenatu-sistema batzuekiko erlazioa

Koordenatu kartesiarrekiko erlazioa

Multzo irekiei buruz:

$U=\{(r,\theta ,\phi )|r>0,0<\theta <\pi ,0\le \phi <2\pi \}\text{eta}V=\{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2>0\}$

Koordenatu kartesiar eta esferikoen arteko $F:V\to U$ korrespondentzia unibokoa dago erlazio hauek definitutakoak:

$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\theta =\{\begin{array}{cc}\arctan \left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\right)& z>0\\ \frac{\pi }{2}& z=0\\ \pi +\arctan \left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\right)& z<0\end{array}\phi =\{\begin{array}{cc}\arctan \left(\frac{y}{x}\right)& x>0\text{ y }y>0\text{ (1° Q)}\\ 2\pi +\arctan \left(\frac{y}{x}\right)& x>0\text{ y }y<0\text{ (4° Q)}\\ \frac{\pi }{2}\text{sgn}(y)& x=0\\ \pi +\arctan \left(\frac{y}{x}\right)& x<0\text{ (2° y 3° Q)}\end{array}$

Erlazio horiek bereziak egiten dira $z$ardatz berera hedatzen saiatzen direnean, non $x^2+y^2=0$, zeinetan φ, ez dagoen definituta. Gainera, φ ez da inongo $(x,y,z)$ puntutan jarraitua $x=0$ bada.

Alderantzizko funtzioa $F^{-1}$ ireki berdinen arteko alderantzizko erlazioen arabera idatz daiteke:

$x=r\sin \theta \cos \phi y=r\sin \theta \sin \phi z=r\cos \theta$

Bere jacobtarra izanik: $\left|J\right|=r^2\sin \theta$

Koordenatu esferikoak eta erlazionatutako ardatz kartesiarrak

Koordenatu zilindrikoekiko erlazioa

Koordenatu kartesiar eta esferikoen arteko tarteko sistema gisa, koordenatu zilindrikoena dago, erlazio hauen bidez koordenatu esferikoekin erlazionatuta dagoena:

$r=\sqrt{{\rho }^2+z^2}\theta =\arctan \left(\frac{\rho }{z}\right)\phi =\phi$

eta haien alderantzizkoak

$\rho =r\sin \theta \phi =\phi z=r\cos \theta$