Leibnizen serie

Matematikan, Leibnizen formulak π kalkulatzeko balio du. Gottfried Leibnizen ohorez horrela izendatua, honela dio:

$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots =\frac{\pi }{4}.$

Aurreko espresioa serie infinitu bat da, Leibnizen seriea deritzona, π ⁄ 4 denean konbergentzia lortzen duena. Gregalik-Leibniz saila ere deitzen zaio, James Gregoryren lana aitortzeko, Leibnizko garaikidea baita. Batuketaren ikurra erabiliz, honela adieraz daiteke seriea:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}=\frac{\pi }{4}.$

Serie edo formula hori sailak alderantzizko funtzio tangenterako duen hedapen orokorrago baten kasu berezia da. XV. mendean aurkitu zuen Madhava Sangamagramakoak, Keralako astronomia- eta matematika-eskolaren sortzaile indiarrak, Leibnizek bere serie espezifikoa argitaratu baino 300 urte lehenago. Bere lana eskertzeko, formula horri Madhava-Leibniz saila ere esaten zaio.

Demostrazioa

Har dezagun serie geometriko infinitua

$1-x^2+x^4-x^6+x^8-\cdots =\frac{1}{1+x^2},|x|<1.$

Berdintasunaren bi kideak integratuz, potentzia batzuk lortzen dira arkotangente batentzat:

$x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\cdots ={\tan }^{-1}x,|x|<1.$

x = 1 balioa sartzean, Leibnizen formula lortzen da (1 balioa π tangente da). Arrazoibide horren arazoa da 1 ez dagoela potentzia horien konbergentzia-erradioan, eta, beraz, argumentu sendoago bat behar da erakusteko seriea tan⁻¹(1) dela x = 1 denean. Aukera bat seriearen konbergentzia Leibnizen irizpidearen bidez erakustea da, gero Abelen teorema aplikatzeko tan⁻¹(1) konbergentzia izan behar duela frogatzeko. Baina oinarrizko argudioa ere erabil daiteke.

Oinarrizko argudioa

Demagun deskonposizio hau dugula:

$\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-\cdots +(-1{)}^n{x}^{2n}+\frac{(-1{)}^{n+1}{x}^{2n+2}}{1+x^2}.$

|x| < 1rako, eskuineko frakzioa da serie geometrikoko gainerako terminoen batura. Hala ere, ekuazioak ez ditu serie infinituak erabiltzen, eta x-ren edozein balio errealetan betetzen da. Bi kideak 0tik 1era integratuz, hau lortzen da:

$\frac{\pi }{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\cdots +\frac{(-1{)}^n}{2n+1}+(-1{)}^{n+1}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^{2n+2}}{1+x^2}dx.$

Gero eta $n\to \mathrm{\infty }$-ra gehiago hurbildu, ekuazioko gaien baturak, integralak izan ezik, Leibnizen seriera jotzen du, eta integralak 0ra jotzen du:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^{2n+2}}{1+x^2}dx<\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{2n+2}dx=\frac{1}{2n+3}\to 0\text{cuando }n\to \mathrm{\infty }.$

Horrek frogatzen du Leibnizen formula.

π kalkulatzeko eraginkortasuna

Praktikan, Leibnizen formula ez da oso eraginkorra π kalkulatzeko, urrats kopuru handia behar baitu nolabaiteko zehaztasuna lortzeko. π kalkulatzeko, 10 hamartar zuzen erabiliz, bost mila milioi eragiketa matematiko baino gehiago egin behar dira, eta ordenagailuek denbora gehiago beharko dute π kalkulatzeko formula eraginkorragoak erabiliz.

Hala ere, seriea une egokian eteten bada, hurbilketaren irudikapen hamartarra zuzena izango da beste digitu askorentzat, zifra isolatuak edo zifra multzoak izan ezik. 5 milioi termino hartuta, hau lortzen da:

3.1415924535897932384646433832795027841971693993873058...

azpimarratutako zifrak okerrak dira. Hain zuzen, aurresangarriak dira akatsak: Eulerren zenbakiek sortzen dituzte E_n formula asintotikoaren arabera

$\frac{\pi }{2}-2\sum _{k=1}^{N/2}\frac{(-1{)}^{k-1}}{2k-1}\sim \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{E_{2m}}{N^{2m+1}}$

no N zenbaki oso bat baita, 4rekin zatitu daitekeena. N hamarreko potentzia bada, eskuineko gai bakoitza zatiki hamartar finitu bat da. Formula Boolek serie alternoen batuketa egiteko formularen kasu berezia da. 1992an, Jonathan Borweinek eta Mark Limberrek π kalkulatu zuten 5.263 hamartarrekin, Leibnizen formulako lehen mila terminoak bakarrik erabiliz.