Mercatorren serie

Matematikan, Mercator seriea edo Newton–Mercator seriea logaritmo naturalen Taylorren seriea da:

$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots .$

Idazkera batukaria erabiliz idatzia,

$\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}{x}^n.$

Serieak logaritmo naturalarekin bat egiten du (aldagaia 1 mugitua) −1 < x ≤ 1 denean.

Historia

Nicholas Mercator, Isaac Newton eta Gregory Saint-Vincentek aurkitu zuten seriea, bakoitzak bere aldetik. Mercator-ek lehen aldiz argitaratu zuen 1668ko Logarithmo-technica tratatuan.

Deribazioa

Seriea Taylorren teorema aplikatuz lor daiteke, ln x funtzioaren n. deribatua indukzioaren bidez kalkulatua x = 1 puntuan,

$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}$ baldintzatik hasiz.

Bestela

$1-t+t^2-\cdots +(-t{)}^{n-1}=\frac{1-(-t{)}^n}{1+t}$

serie geometriko finituarekin has daiteke (t ≠ −1) eta hau lortzen da:

$\frac{1}{1+t}=1-t+t^2-\cdots +(-t{)}^{n-1}+\frac{(-t{)}^n}{1+t}.$

Beraz:

$\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{1+t}=\underset{0}{\overset{x}{\int }}(1-t+t^2-\cdots +(-t{)}^{n-1}+\frac{(-t{)}^n}{1+t})dt$

eta gaiz gai integratuz,

$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}+(-1{)}^n\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{t^n}{1+t}dt.$

Baldin eta −1 < x ≤1 bada, hondarrak 0-ra jotzen du, $n\to \mathrm{\infty }$ doanean.

Adierazpen hori k aldiz gehiago integra daiteke iterazioz, hau lortzeko:

$-x{A}_k(x)+B_k(x)\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}\frac{x^{n+k}}{n(n+1)\cdots (n+k)},$

non

$A_k(x)=\frac{1}{k!}\sum _{m=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{m})x^m\sum _{l=1}^{k-m}\frac{(-x{)}^{l-1}}{l}$

eta

$B_k(x)=\frac{1}{k!}(1+x{)}^k$

x-ren polinomioak diren.