Multiplo komun txikien

Aritmetikan, Zenbaki arrunt batzuen Multiplo komun txikiena a eta b zenbakiak emanda, haien multiplo komunen multzoko elementu txikienari deitzen zaio.

Notazioa: mkt(a,b)

Adibidez, 2, 4 eta 13 zenbakien multiplo komun txikiena 52 da, hau da, 52 da zenbakirik txikiena hiru zenbakiek zatidura zehatzez zatitzen dutena.

M.K.T. kalkulatzeko metodo batzuk

1. metodoa

Zenbaki batzuen multiplo komun txikiena aurkitzeko, lehenik, zenbakietako bakoitza zenbaki lehenetan deskonposatu behar da. Hurrena, deskonposizioko zenbaki lehenak elkarrekin biderkatu behar dira, eta haietako bakoitza zenbakietako edozeinetan agertzen den gehienezko aldi-kopurua adina aldiz hartuta. Kontzeptu hau polinomioekin ere defini daiteke.

Adibidez, 72 eta 50 zenbakien m.k.t.:

$\begin{array}{cc}72& 2\\ 36& 2\\ 18& 2\\ 9& 3\\ 3& 3\\ 1& \end{array}$ $72=2^3\cdot 3^2$

$\begin{array}{cc}50& 2\\ 25& 5\\ 5& 5\\ 1& \end{array}$ $50=2\cdot 5^2$

$m.k.t.(72,50)=2^3\cdot 3^2\cdot 5^2=1800$

2. metodoa

Zenbakien zatitzaile komun handiena (z.k.h.) ezaguna bada, zenbakien m.k.t. kalkulatzeko zenbakien biderkadura zati z.k.h. egin behar dugu. Beraz, formula hau da:

$m.k.t.(a,b)=\frac{a\cdot b}{z.k.h.(a,b)}$

Adibidea:

$m.k.t.(72,50)=\frac{72\cdot 50}{z.k.h.(72,50)}=\frac{3600}{2}=1800$

Oinarrizko propietateak

1. a zenbaki oso bat bada, orduan [a, a] = |a|
2. a eta b zenbaki osoak badira, [a, b] = b baldin eta soilik baldin b a-ren multiploa bada.
3. (a,b) = [a,b], a eta b berdinak edo aurkakoak izan ezkero.
4. [a, b] = [ab] baldin eta soilik baldin (a,b)= 1
5. [a/d, b/d] = [m/a, m/b] non m = mcm y d = mcd.
6. [ma,b]= m[a,b] baldin eta ([a,b]/a,m) = 1
7. [a,b,c]= [[a,b], [b,c]]
8. [a, b, c]|abc, non abc ≠ 0
9. [a,b,c] = abc (a,b,c)/(a,b)(b,c)(c,d)
10. Bi zenbakiren biderketaren emaitza zenbaki horien zatitzaile komun handienagatik zatitu ezkero, hemendik lortzen den emaitza multiplo komun txikiena izango da.
11. Bi zenbakiren multiplo komun txikiena, bi zenbakietako txikienak handiena zatitzen duenean, bi zenbakietatik handiena izango da. Logikoa da, izan ere, bi multiploen multiploa handiagoa baino txikiagoa izatea ezinezkoa litzateke, ez bailitzateke handienaren multiploa izango.
12. Bi zenbaki lehenen multiplo komun txikiena berain arteko biderketaren emaitza ea. Hori logikoa da, zatitzaile komun handiena 1 baita.
13. Bi zenbaki konposaturen multiplo komun txikiena beren produktuaren eta horien zkh-ren arteko zatidura izango da.
14. Hainbat zenbakiren zatitzaile komun handiena zenbaki horien multiplo komun txikienaren zatitzailea da.
15. Izan bedi mZ m zenbaki osoaren multiploen multzoa, eta nZ n zenbaki osoarena. Orduan nZ∩mZ multzoa m eta n zenbakien multiplo komunez osatuta dago. Beste modu batera esanda, [m,n]Z multzoa da.

Multiplo komun txikienaren erabilerak

Frakzioen batuketa

Multiplo komun txikiena izendatzaile desberdineko frakzioak batzeko erabil daiteke, frakzioen izendatzaileen m.k.t. kalkulatuz, eta frakzio baliokideak bihurtuz batu ahal izateko. Ikus dezagu adibide hau:

$\frac{1}{6}+\frac{4}{33}$

Batuketa egin ahal izateko, lehenik izendatzaileen (6 eta 33) multiplo komun txikiena kalkulatu behar dugu

$\begin{array}{cc}6& 2\\ 3& 3\\ 1& \end{array}$ $6=2\cdot 3$

$\begin{array}{cc}33& 3\\ 11& 11\\ 1& \end{array}$ $33=3\cdot 11$

hortaz:

$\mathrm{m.k.t.}(6,33)=2\cdot 3\cdot 11=66$

eta orain izendatzailea 66 duten frakzio baliokideak bilatu behar ditugu, batuketa egin ahal izateko::

$\frac{1}{6}+\frac{4}{33}=\frac{1}{6}\cdot \frac{11}{11}+\frac{4}{33}\cdot \frac{2}{2}=\frac{11}{66}+\frac{8}{66}=\frac{19}{66}$

Adierazpen aljebraikoak

Adierazpen aljebraiko batzuen m.k.t., zenbakizko koefizienterik txikieneko eta mailarik txikieneko adierazpen aljebraikoa da, emandako adierazpenek guztiek zatitzen dutena. Teoria hau oso garrantzitsua da frakzio aljebraikoak eta ekuazioak batzeko.

Adibideak: m.k.t.( $4a,6a^2$ ) = $12a^2$; era berean m.k.t.( $2x^2,6x^3,9x^4$ ) = $18x^4$.

Ikus gainera

• Zatitzaile komun handiena
• Zenbaki lehena
• Izendatzaile komun txikiena
• Zenbaki arruntak