Rolleren teorema

Kalkulu diferentzialean, Rolle-ren teoremak dio funtzio bat $[a,b]$ tarte batean jarraia eta $(a,b)$ tarte batean deribagarria bada, $f(a)=f(b)$ izanik, existituko dela gutxienez puntu bat tarte horretan malda nulua duena, hau da, $\mathrm{\exists }c\in (a,b):f^{\prime }(c)=0$. Bataz besteko balioaren teoremaren kasu berezi bat da.

Bhaskara II matematikari indiarrak deskribatu zuen 12. mendean, baina Michel Rolle (1652-1719) matematikariak frogatu zuen 1691-an.

Teorema

Izan bedi $f$ funtzioa $[a,b]$ tartean jarraitua eta $(a,b)$ tarte irekian deribagarria eta demagun $f(a)=f(b)$ dela. Orduan $\mathrm{\exists }c\in (a,b):f^{\prime }(c)=0$.

Froga

$f$ funtzioa $[a,b]$ tartean jarraitua denez, minimo eta maximo absolutuak lortzen ditu $[a,b]$ tartean arabera, hau da, $f(x_0)\le f(x)\le f(y_0),\mathrm{\forall }x\in [a,b]$. Bi posibilitate daude:

• Maximoa edo minimoa $(a,b)$ tartean dago. $x_0$ puntua orduan mutur bat (minimo bat) izango da, beraz $f^{\prime }(x_0)=0$, mutur baten deribatuaren balioa $0$ delako, eta $c=x_0$ izango da. $y_0$ puntuaren kasuan konklusioa berdina da.
• Aurrekoa ez bada egia, $x_0$ eta $y_0$ tartearen muturrak izango dira. Beraz, $a=x_0$ eta $b=y_0$ suposatu dezakegu. Beraz, $f(x_0)\le f(x)\le f(y_0),\mathrm{\forall }x\in [a,b]$ ikusi dezakegu, baina $a=b$ denez, funtzioa konstantea izango da, eta edozein punturen deribatuaren balioa $0$ izango da.

Adierazpen geometrikoa

Hurrengo irudian ikus daitekeenez, hiru baldintzak betetzen dira: funtzioa $[a,b]$ tarte batean jarraitua da, $(a,b)$ tarte batean deribagarria eta $f(a)=f(b)$ da. Ikus daitekeenez, badago gutxienez $c$ puntu bat non $f^{\prime }(c)=0$, kasu honetan puntu guztiak, funtzioa konstantea delako.

Irudian funtzio konstantea ikus daiteke, baina ez da betetzen den kasu bakarra.

1. kasua

Hurrengo kasuan ikus daitekeenez, tartearen puntu maximoa $f(a)$ eta $f(b)$-ren berdina da, eta minimoa ezberdina da, beraz, kurba ganbila da.. Puntu minimoa $m=f(c)$ da, eta funtzioaren deribatua puntu honetan $0$ da.

2. kasua

Puntu minimoa $f(a)$ eta $f(b)$-ren berdina da eta maximoa ezberdina, beraz, kurba ahurra da. Puntu maximoa $M=f(c)$ da eta bere deribatua $0$ da puntu horretan.

3. kasua

Kasu honetan, bai puntu maximo bai minimoa $f(a)$ eta $f(b)$-ren ezberdinak dira. Beraz, funtzioak $[a,b]$ tarte barnean $f(a)$ eta $f(b)$ baino handiagoa den $M=f(c_2)$ puntu maximo bat eta $f(a)$ eta $f(b)$ baino txikiagoa den $m=f(c_1)$ puntu bat izango ditu gutxienez. Bai maximoan bai minimoan deribatuaren balioa nulua izango da, hau da,$f^{\prime }(c_1)=0$ eta $f^{\prime }(c_2)=0$.