Sandwicharen teorema

Kalkuluan, sandwicharen erregela, tarteko segidaren teorema bezala ere ezaguna, funtzio baten muga zehazteko erabiltzen den teorema bat da. Teoremak bi funtziok puntu batean muga berera jotzen badute, aurreko bien artean zehaztu daitekeen beste edozein funtziok puntu horretan muga bera izango duela adierazten du.

Sandwicharen teorema edo irizpidea oso garrantzitsua da kalkulu eta analisi matematikoko frogapenetan. Halaber, maiz erabiltzen da funtzio baten muga aurkitzeko, muga ezaguneko edo erraz kalkula daitekeen beste bi funtziorekin alderatuz.

Aplikazioa

Sandwicharen teorema sarritan erabiltzen da muga zehaztugabeak ebazteko. Bereziki, teorema horri esker hurrengoa baieztatu dezakegu:

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{sen}(kx)}{kx}=1$

Indeterminazio batzuk adierazpen orokorretik adierazpen hori bakanduz eta gainontzekoari limiteen propietateak aplikatuz kalkulatu daitezke.

Besteak beste, funtzio trigonometrikoen deribatuak puntu batean kalkulatzeko aukera ematen du.

Teorema

Izan bedi Z tartea non a puntua dagoen eta izan bitez f,g eta h Z tartean definitutako funtzioak, a puntuan izan ezik.

Demagun edozein x barne Z-rako, x ezberdin a izanik:

$g(x)\le f(x)\le h(x)$

eta

$\underset{x\to a}{\lim }g(x)=\underset{x\to a}{\lim }h(x)=L$

Orduan,

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L$ da.

Adibidea

$\left(\frac{0}{0}\right)$ motako indeterminazioko $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{sen}(x)}{x}$ limitea kalkulatzeko hurrengo urratsak jarraitu behar dira:

1. $\mathrm{sen}x\le x\le \tan x$ erlazioa hartu
2. Erlazio hori $\mathrm{sen}x$-gatik zatitu: $1\le \frac{x}{\mathrm{sen}x}\le \frac{1}{\cos x}⟺1\ge \frac{\mathrm{sen}x}{x}\ge \cos x$
3. Badakigu $\underset{x\to 0}{\lim }1=1$ eta $\underset{x\to 0}{\lim }\cos x=1$ direla
4. Beraz, sandwichen teorema aplikatuz, $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{sen}x}{x}=1$

Segidei aplikatuta

Izan bitez $\{a_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$, $\{b_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ eta $\{c_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ zenbaki errealen segidak eta demagun existitzen dela $n_0\in \mathbb{N}$ non $n_0\le n$ guztietarako $a_n\le b_n\le c_n$ den. $\{a_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ eta $\{c_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ konbergenteak badira $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{c}_n=L$ izanik, orduan $\{b_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ konbergentea da eta bere limitea L da.

Gogoratu, $\{a_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ segida bat konbergentea izango da baldin eta soilik baldin existitzen bada $L\in \mathbb{N}$ non $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=L$ den. Bestela, segida dibergentea izango da.