Skeweren zenbaki

Zenbakien teorian, Skeweren zenbaki deritzo goi borne gisa balio duen $x$ zenbaki naturalik txikienari

$\pi (x)>\mathrm{li}(x),$

operazioan, non $\pi$ zenbaki lehenen kontaketa funtzioa den eta $li$ logaritmo integrala den. Skeweren zenbakia askoz handiagoa da, baina orain badakigu $e^{727.95133}<1.397\times 10^{316}.$ inguruan $\pi (x)<\mathrm{li}(x)$ eta $\pi (x)>\mathrm{li}(x)$ elkar gurutzatzen dutela. Ez dakigu hori ote den dagoen gurutzatze lekurik txikiena.

Izena Stanley Skewes hegoafrikar matematikariak egindako ikerketaren ondorio da.

Skeweren zenbakiak

J.E. Littlewood, Stanley Skewesen ikerketaren zuzendaria izan zena, frogatu zuen 1914ean horrelako zenbaki bat existitzen dela eta, beraz, horrelako lehenengo zenbaki bat. Aurkitu zuen ere $\pi (x)-\mathrm{li}(x)$ diferentziaren zeinua aldi infinitutan aldatzen dela. Garai horretara arte uste zen $\pi (x)$ beti zela $\mathrm{li}(x).$ baino txikiagoa. Littlewooden frogak ez zuen horrelako $x$ zenbakirik proposatu, ordea.

Skewesek 1933an forgatu zuen Riemannen hipotesia egia dela onartuz gero, existitzen dela $x$ zenbaki bat $\pi (x)<\mathrm{li}(x),$ bortxatzen duena

$e^{e^{e^{79}}}<10^{10^{10^{34}}}$ baino txikiagoa.

Riemannen hipotesia ez bada onartzen, 1955ean demostratu zuen badela $x$ zenbaki bat

$e^{e^{e^{e^{7.705}}}}<10^{10^{10^{964}}}$ baino txikiagoa dena.

Gaur egungo zenbaki txikiagoak

Goi borne hauek denborarekin txikiagoak egin ziren, Riemannen zeta funtzioaren zeroak ordenagailu bidez kalkulatzen. Lehmanek 1966an demostratu zuen $1.53\times 10^{1165}$ eta $1.65\times 10^{1165}$ artean nonbait $10^{500}$ $x$ zenbaki oso kontsekutibo baino gehiago daudlea non $\pi (x)>\mathrm{li}(x)$.

Riemannen hipotesia asumitu gabe, Herman te Rielek demostratu zuen 1987an $7\times 10^{370}$ goi bornea. Estimazio hobea da $1.39822\times 10^{316}$ Baysek eta Hudsonek 2000an aurkitua. Chaok eta Plymenek 2010ean Bays eta Hudsonen emaitza partzialki zuzendu zuten.