Sundaramen bahea

1934an, indiar ikasle gazte batek, Sundaramek, zenbaki lehenak aurkitzeko Eratostenesen bahearen ordez, honako taula numerikoa proposatu zuen:

• Lehenengo errenkadan eta zutabean 4, 7, 10…, 3n+1,… progresio aritmetikoaren gaiak jarri ondoren, beste errenka eta zutabeak eraikitzen dira.

• Bigarren errenkada eta zutabea diferentzia 5 duen segida aritmetikoa.
• Hirugarrena diferentzia 7 duen segida,
• Laugarrena 9 diferentziakoa.
• Horrela jarraian segiden diferentzia zenbaki bakoitien progresioaren gaiak izanik, $d=\{3,5,7,9,...,2n-1,...\}$.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	...
1	4	7	10	13	16	19	22	25	27	30	...
2	7	12	17	22	27	32	37	42	47	52	...
3	10	17	24	31	38	45	52	59	66	73	...
4	13	22	31	40	49	58	67	76	85	94	...
5	16	27	38	49	60	71	82	93	104	105	...
6	19	32	45	58	71	84	97	110	123	136	...
7	22	37	52	67	82	97	112	127	142	157	...
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...

Taula honetan falta diren balioek zenbaki lehenen sortzaileak dira:

• $N$ zenbakia taulan ez badago, orduan $2N+1$ zenbaki lehena da.
• $N$ taulan badago, orduan $2N+1$ ez da lehena.

$\mathrm{A}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{b}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{k}$

$Ntaulanez$	$2N+1$		$Ntaulan$	$2N+1$
1	3		4	$9=3\cdot 3$
2	5		7	$15=3\cdot 5$
3	7		10	$21=3\cdot 7$
5	11		12	$25=5\cdot 5$
6	13		13	$27=3\cdot 9$
8	17		17	$35=5\cdot 7$
...	...		...	...
	Lehenak			Konposatuak

Egiaztapena

$Ntaulanbadago⟹2N+1ezdalehena$

Taulako elementuak, $m$ zutabearen eta $n$ errenkaren menpe adierazi daitezke.

Lehenengo zutabeko elementuak $3n+1$ segidako gaiak dira. $n$-garren errenkadako ondorengo gaiakak $2n+1$ batuz lortzen dira,

honela $n$. errenkada eta $m$. zutabeko gaia: $N=3n+1+(m-1)(2n+1)=3n+1+2mn+m-2n-1=n(2m+1)+m$

Taulako $N=n(2m+1)+m$ zenbakiaren bikoitzari 1 batzen bazaio, $2N+1=2(n(2m+1)+m)+1=2n(2m+1)+2m+1=(2m+1)(2n+1)$

Ondorioz, $N$ taulan badago, $2N+1$ zenbaki konposatua da

$Ntaulanezbadago⟹2N+1zenbakiblehenada$

Frogatuko dugu baliokidea den honako proposizioa: $2N+1ezbadalehena⟹Nzenbakiataulandago$

$2N+1$ lehena ez bada, existituko dira berdin 1 ez diren $a=2m+1$ eta $a=2n+1$ zenbaki bakoitiak non:

$2N+1=ab=(2m+1)(2n+1)=2\cdot 2mn+2n+2m+1$

$2N=2\cdot 2mn+2n+2m$

$N=2mn+n+m$

$N=n(2m+1)+m$

Beraz, $N$ zenbakia taulan dago $n$. errenkadan eta $m$. zutabean.

Ondorioz, $2N+1$ lehena da baldin eta soilik baldin $N$ taulan ez badago.