Taylorren teorema

$y={\text{e}}^x$ funtzio esponentziala (marra gorri jarraitua) eta Taylorren polinomio baten bidez haren hurbilketa koordenatuen jatorriaren inguruan (lerro berde etena).

Kalkulu diferentzialean, Taylorren teoremak bere izena Brook Taylor matematikari britainiarrarengandik jasotzen du, 1712an orokortu izan baitzuen aurretik James Gregory-k 1671.ean aurkitu zuen hura. Teorema honek funtzio baten hurbilketa polinomikoak lortzea ahalbidetzen du funtzioa deribagarria den puntu jakin bateko ingurune batean. Gainera, teoremak estimazio horren bidez lortutako errorea mugatzeko aukera ematen du.

Aldagai baten kasua

Teoremaren enuntziatua

Taylorren teorema

Izan bedi $k\in N$ eta $f:R\to R$ una funtzio deribagarria $k$ aldiz $a\in R$ puntuan. Orduan, existituko da $h_k:R\to R$ non:

$f(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{f^{″}(a)}{2!}(x-a{)}^2+\cdots +\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k+h_k(x)(x-a{)}^k$

$\underset{x\to a}{\lim }{h}_k(x)=0$ izanik. Hau gainontzekoaren Peano forma deritzo.

Taylorren teoreman agertzen den polinomioa:

$P_k(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{f^{″}(a)}{2!}(x-a{)}^2+\cdots +\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k,$

$a$ puntuan $f$ funtzioaren $k$ ordenako Taylor polinomioa esaten zaio.

Taylorren Hondarra

$R_n{,}_a(x)=f(x)-P_n{,}_a(x)$

Non bere limitea 0 izango den eta $(x-a{)}^n$baino azkarragoa izango den.

$\underset{x\to a}{\lim }{R}_n{,}_a(x)/(x-a{)}^n=0$