Zenbaki lehenen bahea paraboliko

Bahea parabolikoa

Eratostenesen baheaz gain, badira beste metodo batzuk emandako zenbaki jakin bat baino txikiagoak diren zenbakiak lehenak ala konposatuak diren erabakitzeko. Yuri Matiyasevich eta Boris Stechkin matematikari errusiarrek metodo geometriko-bisual bitxia proposatu zuten, bahea paraboliko izenarekin ezaguna dena. Metodo honek honela funtzionatzen du:

• $y=x^2$parabolaren gainean koordenatu osoak dituzten puntuak markatu behar dira, $|x|>1$ baldintzarekin: (2,4), (-2,4), (-3,9), (3,9)…

• Parabolaren bi aldetako puntuak segmentuekin lotzen dira.

• Zuzenki hauek OY ardatz bertikala zenbaki konposatuetan ebakitzen dute, zenbaki lehenak ukitu gabe. Adibidez (-2,4) puntua (3,4) puntuarekin lotzen denean, zuzenak 2·3=6 puntuan mozten du ordenatuen ardatza, (-3,4) puntua (4,16)rekin elkartzean, 3·4=12 puntuan, (-3,9) eta (3,9) lotzean 3·3=9 puntuan.…

Egiaztapena

Izan bitez n, m zenbaki arruntak 1 baino handiagoak, $(-n,n^2)$ eta $(-m,m^2)$ puntuetatik igarotzen den zuzenaren malda: $\frac{m^2-n^2}{m+n}=\frac{(m+n)(m-n)}{m+n}=m-n$ eta puntu-malda ekuazioa erabiliz: $y=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}(x-x_0)+y_0⟹y=(m-n)(x+n)+n^2$

Zuzenaren eta OY ardatzaren arteko ebaki puntua m eta n-ren menpe:

$y=(m-n)(0+n)+n^2=mn-n^2+n^2=m\cdot n$ non $m,n=\{2,3,4,5,6...\}$

Hau da, zuzenek OY ardatza ebakitzen dute konposatuak diren zenbakietan:

$\{2\cdot 2=4,2\cdot 3=6,2\cdot 4=8,...,3\cdot 3=9,3\cdot 4=12,...,4\cdot 4=16,4\cdot 5=20...\}$

Lehenak diren zenbakiak ez dira zeharkatuak izan: $\{2,3,5,7,11,13,17,19,23...\}$

OY ardatzeko zenbaki konposatuei erreparatuz honako ezaugarri hauek nabarmendu daitezke:

• $N=nn=n^2$ zenbakia karratu perfektua bada, malda nulua duen zuzen bakarra igaroko da bertatik, $(-n,n^2)$ eta $(n,n^2)$ puntuak elkartzen dituena.

• $N\ne n^2$zenbakia ez bada karratu perfektua, zenbakiaren zatitzaile propioak elkartuta daude binaka $(-n,n^2)$ eta $(m,m^2)$ puntuen bidez, non $n\cdot m=N$ den. Ondorioz, zenbaki konposatu batetik igarotzen diren zuzenen kopurua, zatitzaile propioen kopurua da.
• Edozein $m\ge 2$ lotuta dago ordenatuen ardatzeko bere multiplo guztiekin, bere buruarekin izan ezik.

Txantiloi:Autoritate kontrola