Serie konbergente

Serie konbergentea bere gaien batura partzialen segidak limite finitua duen seriea da; kasu horretan, serieak batura finitua du, batura partzialen segidaren limitea hain zuzen.

Definizio formala

Kontuan hartutako serieak zenbakizkoak (termino erreal edo konplexuekin) edo bektorialak (eratutako espazio bektorialean balioekin) dira. Termino orokorraren serieak $a_n$ bat egiten du batuketa partzialen segidak bat egiten duenean.

$a_n=\sum _{k=0}^n{a}_k$

Kasu honetan, seriearen batura batura partzialen segidaren limitea da.

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n$

Serie baten konbergentzia edo ez konbergentzia izaera ez da aldatzen seriearen termino-kopuru finitu bat aldatzen bada.

Adibideak

Konbergenteak dira sekuentzien serieak:

• Zenbaki oso bakoitietako elkarrekikoak, zeinuak tartekatuta dituztenak $(\frac{1}{1},-\frac{1}{3},\frac{1}{5},-\frac{1}{7},\frac{1}{9},-\frac{1}{11},...)$. Leibnizen serie bezala ezagutzen dira:

$\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}...=\frac{\mathrm{\Pi }}{4}$

• Zenbaki triangeluarren elkarrekikoak:

$\frac{1}{1}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+\frac{1}{15}+\frac{1}{21}+...=2$

• Hurrengo faktorialetako elkarrekikoak (n!):

$\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\frac{1}{120}+...=e$

• Ondoz ondoko karratu perfektuen elkarrekikoak (ikus Basileako problema):

$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\frac{1}{25}+\frac{1}{36}+...=\frac{{\mathrm{\Pi }}^2}{6}$

• 2ren potentzien elkarrekikoak:

$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+...=2$

• 2ren berreturen elkarrekikoak, zeinu txandakatuekin:

$\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\frac{1}{16}-\frac{1}{32}+...=\frac{2}{3}$

• Fibonacciren zenbakien elkarrekikoak (ikus Fibonacciren alderantzizkoen konstantea):

$\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{8}+...=\psi$

• Zeinu txandakatuak dituzten zenbaki naturalen elkarrekikoak $(\frac{1}{1},-\frac{1}{2},\frac{1}{3},-\frac{1}{4},\frac{1}{5},-\frac{1}{6},\frac{1}{7},...)$:

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k+1}}{k}=\ln 2$

Dibergenteak dira sekuentzien serieak:

• Zenbaki naturalen elkarrekikoak, serie harmonikoa bezala ezagutua dena $(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\frac{1}{6},\frac{1}{7},...)$:

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+...\to \mathrm{\infty }$

• Zenbaki lehenen elkarrekikoak $(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{5},\frac{1}{7},\frac{1}{11},\frac{1}{13},...)$:

$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13}+...\to \mathrm{\infty }$

Konbergentzia absolutua

$\sum a_n$ seriea absolutuki konbergentea dela diogu baldin eta termino orokorraren seriea $\Vert a_n\Vert$ konbergentea bada. Kasu honetan $\sum a_n$ serieak bat egiten du.

Erabateko konbergentzia oso interesgarria da Banachen espazio batean balioak dituzten serieak aztertzeko (horixe da zenbaki-serieen kasua), non nahikoa baita serieak erabateko konbergentzia izatea bat egiten duela frogatzeko. Teknika horri esker, kasu askotan, termino positiboen serieetan soilik egin daiteke azterketa; horretarako, metodo ugari daude.

Gai positiboko serieen konbergentziarako-irizpideak

Konparazio irizpidea: izan bitez $\sum a_n$ eta $\sum b_n$ gai positiboko serieak, $\sum a_n<<\sum b_n$ izanik. Orduan:

• $\sum b_n$ konbergentea bada, $\sum a_n$ ere konbergentea da.

• $\sum a_n$ dibergentea bada, $\sum b_n$ ere dibergentea da.

Limitearen irizpidea: izan bitez $\sum a_n$ eta $\sum b_n$ gai positiboko serieak, $b_n\ne 0$ izanik $n\in N$ guztietarako. Izan bedi $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{b_n}=\lambda$.

• $\lambda \ne 0,+\mathrm{\infty }$ denean, $\sum a_n$ konbergentea da baldin eta soilik baldin $\sum b_n$ konbergentea bada.
• $\lambda =0$ denean, $\sum b_n$ konbergentea bada, $\sum a_n$ ere konbergentea da.
• $\lambda =+\mathrm{\infty }$ denean, $\sum b_n$ dibergentea bada, $\sum a_n$ ere dibergentea da.

D'Alamberten irizpidea: izan bedi $\sum a_k$ seriea gai positiboko seriea eta demagun $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_{k+1}}{a_k}=l$ limitea existitu egiten dela. Orduan:

• l < 1 bada, orduan $\sum a_k$ konbergentea da.

• l > 1 bada, orduan $\sum a_k$ dibergentea da.

Raaberen irizpidea: izan bedi $\sum a_k$ gai positiboko seriea, zeinetarako $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_{k+1}}{a_k}=1$ den, eta izan bedi $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }1-\frac{a_{k+1}}{a_k}=l$. Orduan:

• l >1 edo l = $\mathrm{\infty }$ bada, orduan $\sum a_k$ konbergentea da.

• l <1 bada, orduan $\sum a_k$ dibergentea da.

Cauchyren irizpidea edo erroaren irizpidea: izan bedi $\sum a_k$ gai positiboko seriea eta demagun $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[k]{a_k}=l$ limitea existitzen dela. Orduan:

• l < 1 bada, orduan $\sum a_k$ konbergentea da.

• l >1 bada, orduan $\sum a_k$ dibergentea da.

Integralaren irizpidea: Izan bedi f funtzio positiboa eta beherakorra [1, +$\mathrm{\infty }$) tartean. Izan bedi $a_k=f(k)$, $k\in \mathrm{N}$ guztietarako. Orduan $\sum a_k$ konbergentea da baldin eta soilik baldin $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{1}{\overset{k}{\int }}f(x)dx$ existitzen bada eta finitua bada.