Aljebra multilineal

Aljebra multilineala Matematikan aljebra linealeko metodoak orokortzen dituen azterketa-eremua da. Aztergaiak espazio bektorialen produktu tentsorialak eta espazioen arteko transformazio multilinealak dira.

Notazioa

Aljebra multilinealak indize anitzeko notazioaren erabilera intentsiboa egiten du. Horrelako notazio baten bidez, konbinazio linealak bi indize edo gehiago errepikatuz adierazten dira.

• Oinarrizko kasuan (1 mailako tensore, kontrabariantea), Einsteinen baturaren konbentzioa erabiliz: $X=X^s{e}_s$ Horrek adierazten du X objektua konbinazio lineala dela:

$e_s$ oinarrizko bektoreen gainean, eta X-ren osagaiak deituriko $X^s$balioen gainean, non $n$ hemen baita X "bizi" den espazioaren dimentsioa (aljebraikoa). Konbentzioz, 1-kontratensore deitzen zaie.

• 1. mailan ere 1. tensorea dago, hau da, funtzio linealak aukeratutako espaziotik eskalarren gorputzera. $i^s$ funtzio linealen konbinazio lineal gisa idazten dira, $i^s(e_{\sigma })={{\delta }^s}_{\sigma }$betetzen duten $V\to 𝕂$ transformazio lineal gisa, non (klasikoki bezala) Kronecker-en delta erabiltzen ari den. Hala, edozein $f:V\to 𝕂$ kobektore honela idazten da:$f=f_s{e}^s$ Notazioa hori honela laburtu daitekeela: $f=f_1{e}^1+\cdots +f_n{e}^n$
• Bigarren mailako tentsoreak:
  • Kontrabarianteko bi heineko tentsore bat da hau:$B=B^{st}{e}_s\otimes e_t$
  • Kobarianteko bi heineko tensorea da. $C=C_{st}{e}^s\otimes i^t$
  • Eta bi heineko tensore misto bat da hau: $D={D^s}_T{e}_s\otimes e_t$ Horrek bi-indezedun konbinazio lineal bat adierazten du.

Adibidez:

espazioaren dimentsioa bi bada.

• Aurrekoa orokortuz, ${A^{i_1{i}_2...i_p}}_{j_1{j}_2...j_q}$ idazten da A tensore misto baten osagaiak irudikatzeko , p-kontrabariante eta q-kobariantea baita. Baina

indexatutako konbinazio lineal bat adierazten du.

Hori guztia kontuan hartzeko, kontuan hartu behar izan da bektore-espazioa n dimentsio finitua duela.

Produktu tentsoriala

V eta W bi bektore-espazio baditugu, dagozkien oinarriekin, haien produktu tentsoriala definitzen da$\{b_1,...,b_n\}$$\{c_1,...,c_m\}$

$V\otimes W:=⟨\{b_i\otimes c_j\}⟩$

hau da, sinbolo berriek sortutako espazio bektoriala

$\{b_1\otimes c_1,b_1\otimes c_2,...,b_n\otimes c_{m-1},b_n\otimes c_m\}$

Eta, beraz, $V\otimes W$ espazioan bizi den (edo horren parte den) objektu bat, konbinazio lineal gisa adieraz daiteke.

$X=X^{11}{b}_1\otimes C_1+X^{12}{b}_1\otimes C_2+\cdots +X^{ij}{b}_i\otimes c_j+\cdots +X^{nm}{b}_n\otimes c_m$

eta honela laburtu daiteke

$X=X^{st}{b}_s\otimes c_t$ s edo t indize errepikatuak, behin gora eta behin behera —batutze-hitzarmenaren arabera—, banan-banan.

Definizio hori guztiz abstraktua da, baina algebraren ikuspuntutik ez dago inolako arazorik produktu tensorialaren aukera guztiak aztertzean. Espazio pila bat (eta garrantzi handikoa) sortzen da V bektore-espazioa eta $V^{*}$ bere espazio dual bat espazioak kontsideratzen direnean:

$V\otimes V\otimes V=V^{3\otimes }$

$V\otimes V^{*}=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(V)$

$V^{*}={\mathrm{\Lambda }}^1(V)$

$V\wedge V$

${\mathrm{\Lambda }}^k(V)$

Horiek guztiak egunero erabiltzen dira geometria diferentzialean, geometria aljebraikoan, aljebra konmutatiboan, erlatibitatean eta kuantikoan, QFT teorian, TQFT teorian eta beste batzuetan.

Tensoreak eta formak

Bedi $V$ espazio bat $b_i$-ekin sortua. Sinboliza dezagun ${\beta }^{\mu }$-rekin $V^{*}$ oinarri duala, $V^{*}\otimes V^{*}$ multiespazioko edozein elementu honela idazten da: $B_{\mu \nu }{\beta }^{\mu }\otimes {\beta }^{\nu }$. Adierazpen hori funtzio bilineal gisa ikus daiteke

$\begin{array}{ccc}V\times V& \stackrel{B_{\mu \nu }{\beta }^{\mu }\otimes {\beta }^{\nu }}{⟶}& ℝ\\ (b_i,b_j)& \mapsto & B_{\mu \nu }{\beta }^{\mu }\otimes {\beta }^{\nu }(b_i,b_j)=B_{ij}\end{array}$

jakinik${\beta }^{\mu }\otimes {\beta }^{\nu }(b_i,b_j)={{\delta }^{\mu }}_i{{\delta }^{\nu }}_j$ dela, non $\delta$ Kronecker-en delta.

Garatutako kontzeptu batzuk (zerrenda guztiz osatu gabea)

• tensore
• espazio dual
• Bobektoreak
• geometria diferentziala
• tensore-kalkulua
• analisi bektoriala
• bektoreen kobariantza eta kontraxia
• tensore metrikoa
• deribatu kobariantea
• konexioa
• Riemann-en kurbadura-tensorea
• Christoffelen ikurrak
• kanpoko aljebra
• forma diferentziala
• kurbadura
• Stokesen teorema
• Levi-Civita ikurra
• Atala (matematika)
• Eremu bektoriala
• Eremu tensoriala
• Pullback

Bibliografia

• Grassmann, Hermann (2000) [1862]. Extension Theory [Die Ausdehnungslehre]. Translated by Kannenberg, Lloyd. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-9049-3.
• Fleming, Wendell H. (1977). "Exterior algebra and differential calculus". Functions of several variables. Undergraduate Texts in Mathematics (2nd ed.). Springer. pp. 275–320. doi:10.1007/978-1-4684-9461-7_7. ISBN 978-1-4684-9461-7. OCLC 2401829.
• Ricci-Curbastro, Gregorio; Levi-Civita, Tullio (1900). "Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications". Mathematische Annalen. 54 (1): 125–201. doi:10.1007/BF01454201. ISSN 1432-1807. S2CID 120009332.
• Shaw, Ronald (1983). Multilinear algebra and group representations. Linear Algebra and Group Representations. Vol. 2. Academic Press. ISBN 978-0-12-639202-9. OCLC 59106339.

Ikus, gainera

• Aljebra lineal