Aztarna (aljebra)

Aljebra linealean, matrize karratu baten aztarna bere diagonal nagusiko elementuen batura da.

Hau da,

$\mathrm{tr}(A)=a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}$

non a_ij i-garren errenkadan eta j-garren zutabean dagoen elementua den.

Adibideak

$A=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 1\\ 0& 4& 5\\ 0& 1& 2\end{array}\right)\Rightarrow \text{tr}(A)=3+4+2=9.$

$B=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 1\\ 0& 4& 5\\ 0& 1& -7\end{array}\right)\Rightarrow \text{tr}(B)=3+4+(-7)=0.$

Propietateak

• Aztarna eragile lineal bat da:

$\mathrm{tr}(A+B)=\mathrm{tr}\left(A\right)+\mathrm{tr}\left(B\right)$

$\mathrm{tr}\left(rA\right)=r(\mathrm{tr}\left(A\right))$

$A$ eta $B$ matrize karratuak izanik, eta $r$ eskalar bat.

• Matrizea iraultzeak ez duenez eraginik sortzen diagonal nagusian,

$\mathrm{tr}\left(A^T\right)=\mathrm{tr}\left(A\right)$

• $A$ $n\times m$ dimentsioko matrize bat bada eta $B$ $m\times n$ dimentsiokoa, orduan

$\mathrm{tr}\left(AB\right)=\mathrm{tr}\left(BA\right)$

Frogatzeko, aintzat hartu behar dugu $A$ eta $B$ matrizeen biderkadura honelakoa dela

$[AB{]}_{ij}=\sum _{k=1}^m[A{]}_{ik}[B{]}_{kj}$

hortaz, $AB$-ren aztarna honela adieraz dezakegu

$\mathrm{tr}\left(AB\right)=\sum _{i=1}^n[AB{]}_{ii}=\sum _{i=1}^n\sum _{k=1}^m[A{]}_{ik}[B{]}_{ki}$

eta batuketaren elkartze-propietatea kontuan hartuz gero

$\mathrm{tr}\left(AB\right)=\sum _{k=1}^m\sum _{i=1}^n[A{]}_{ik}[B{]}_{ki}=\sum _{k=1}^m\sum _{i=1}^n[B{]}_{ki}[A{]}_{ik}=\sum _{k=1}^m[AB{]}_{kk}=\mathrm{tr}\left(BA\right)$

Azpimarratu behar dugu $AB$ $n\times n$ dimentsioko matrize karratu bat dela, eta $BA$, aldiz, $m\times m$ dimentsioko matrize bat.