Bektore espazio

Bektore espazioaren irudikapena.

Matematikan eta zehazkiago aljebra linealean bektore espazioa edo espazio bektoriala hutsa ez den multzo batetik sorturiko egitura aljebraiko bat da, egitura hau aipatutako multzo ez hutsa horren eta bektore batuketa batetik (barne operazioa) edota eskalar biderketa sortzen da.

Definizioa:

Izan bitez $(K,+,\cdot )$eta $V$multzoa, orduan $VK$-espazio bektoriala da baldin eta solik baldin:

1. $(V,+)$Talde abeldarra da, hau da, multzoak gehiketa aplikazioa definituta du, taldearen elementu neutroa $0_V$denotatuko dugu.
2. Kanpo aplikazioa (eragiketa) existitzen da:$\begin{array}{c}\cdot :K\times V\to V\\ (k,v)\to k\cdot v\\ \end{array}$ (eskalar eta bektore arteko biderketa)

Gorputzeko elementuak eskalarrak deritze eta $V$-ko elementuak bektore, kanpo aplikazioak betetzen dituen propietateak hurrengoak dira:

• Banatze propietatea eskalarren gehiketarekiko: $\mathrm{\forall }{k}_1,k_2\in K,\mathrm{\forall }v\in V:(k_1+k_2)\cdot v=k_1\cdot v+k_2\cdot v$
• Banatze propietatea bektoreen gehiketarekiko:$\mathrm{\forall }{v}_1,v_2\in V,\mathrm{\forall }k\in K:(v_1+v_2)\cdot k=v_1\cdot k+v_2\cdot k$
• Elkartze propietatea: $\mathrm{\forall }{k}_1,k_2\in K,\mathrm{\forall }v\in V:k_1(k_2\cdot v)=(k_1\cdot k_2)\cdot v$
• Bektorea eta gorputzeko biderketarekiko elementu neutroaren arteko produktua bektore bera da: $\mathrm{\forall }v\in V:v\cdot 1_K=v$

Adibideak:

$\mathbb{Z}$ez da $\mathbb{Q}$-espazio bektoriala zeren, nahiz eta $(\mathbb{Z},+)$talde abeldarra izan, adibidez bektore moduan 3 zenbakia hartzen badugueta eskalar moduan 1/2, bektore bider eskalar produktua ez dago multzo barruan, hau da, 1.5 ez da zenbaki osoa.

Ostean, $\mathbb{Q}$-$\mathbb{Q}$-espazio bektoriala da, baita ${\mathbb{Q}}^2$$\mathbb{Q}$espazio bektoriala da.

Beraz $(K,+,\cdot )$gorputza izanik, $K^n$$K$espazio bektoriala da.

Espazio bektorialak: ${\mathbb{Q}}^n$$\mathbb{Q}$espazio bektoriala da, ${ℝ}^n$$ℝ$espazio bektoriala da, ${ℂ}^n$$ℂ$espazio bektoriala da.

Propietate gehiago:

$V$$K$espazio bektoriala bada:

$(i)$$\mathrm{\forall }k\in K:k\cdot 0_V=0_V$

Badakigu $0_V=0_V+0_V$, orduan $k\cdot 0_V=k\cdot (0_V+0_V)=k\cdot 0_V+k\cdot 0_V$ dugu, eta, beraz, $k\cdot 0_V=k\cdot 0_V+k\cdot 0_V$. Adierazpena sinplifikatuz, $0_V=k\cdot 0_V$ ondorioztatzen da.

$(ii)$$\mathrm{\forall }v\in V:v\cdot 0_K=0_V$

Badakigu $0_K=0_K+0_K$orduan $v\cdot 0_K=v\cdot (0_K+0_K)=v\cdot 0_K+v\cdot 0_K⟹v\cdot 0_K=v\cdot 0_K+v\cdot 0_K$eta adierazpena sinplifikatuz $0_V=v\cdot 0_K$

$(iii)$$k\cdot v=0_V⟺k=0_{K}edov=0_V$

$⟹$

Demagun $k\in K-\{0_K\}$dela, orduan existitzen da eskalarraren alderantzizkoa $k^{-1}$, orduan $k\cdot v=0_V$adierazpenean biderkatuz:

$(k^{-1}\cdot k)\cdot v=k^{-1}\cdot 0_V⟹1_K\cdot v=0_V⟹v=0_V$

$⟸$Frogatuta dago $(i)$eta $(ii)$-n.

$(iv)$$-v=(-1_K)\cdot v,\mathrm{\forall }v\in V$

Mugitu adierazpenean bektorea eskumara: $0_V=v+(-1_K)\cdot v$, badakigu $v=(1_K)\cdot v,\mathrm{\forall }v\in V$, ordezkatu: $(1_K)\cdot v+(-1_K)\cdot v=0_V$banatze propietatea erabiliz:

$v\cdot (1_K-1_K)=0_V$eta badakigu $1_K-1_K=0_K$beraz $v\cdot (1_K-1_K)=v\cdot (0_k)=0_V$

$(v)$ $u+w=v+w⟹u=v$

$(vi)$ $0v=0,\mathrm{\forall }v\in V$

$(vii)$ $\lambda 0=0,\mathrm{\forall }\lambda \in K$

$(viii)$ $(-\lambda )v=-\lambda v,\mathrm{\forall }\lambda \in K$ eta $\mathrm{\forall }v\in K$

$(ix)$ $\lambda v=0⟺\lambda =0$ edo $v=0$

$(x)\lambda v=\mu v$ eta $v\ne 0⟹\lambda =\mu$

$(xi)$$\lambda v=\lambda w$ eta $\lambda \ne 0⟹v=w$