Bolzanoren teorema

Txantiloi:Es azalpen grafikoa

Bolzanoren teorema kalkuluko batezbesteko balioaren teoremaren kasu konkretu bat adierazten duen teorema bat da. Bernard Bolzanok proposatu zuen 1817an.

Teorema

Izan bedi $f$ funtzioa $[a,b]$ tartean jarraitua. Baldin eta $f(a)$ eta $f(b)$ balioen zeinuak desberdinak badira, orduan existitzen da $x_0\in [a,b]:f(x_0)=0$ den.

Edo errazago esanda, funtzio bat jarraitua den tarte batean positibotik negatibora (edo kontrara) badoa zerotik pasatzen da.

Froga

Kontsideratuko dugu $f(a)>0$ eta $f(b)<0$ direla eta izan bedi $I1=[a,b]$ tartea. Kontsidera dezagun tarte honen erdiko puntua, $\frac{a+b}{2}$.

• $f(\frac{a+b}{2})=0$ bada, $x_0=\frac{a+b}{2}$ izango da, beraz, frogatuta geratzen da.

• $f(\frac{a+b}{2})>0$ bada, izan bitez $a_2=\frac{a+b}{2}$ eta $b_2=b$.

• $f(\frac{a+b}{2})<0$ bada, izan bitez $a_2=a$ eta $b_2=\frac{a+b}{2}$ .

$I_2=[a_2,b_2]$ tartearekin prozesua errepikatuz $I_3$ tartea lortuko dugu, eta hainbat aldiz errepikatuz $I_n$ tarteen familia non $|I_n|=a_n-b_n=\frac{b-a}{2^{n-1}}$. Beraz, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n=x_0$.

$f$ jarraitua dela kontsideratuko dugunez, $f(x_0)=li{m}_{n\to \mathrm{\infty }}f(a_n)\ge 0$ eta $f(x_0)=li{m}_{n\to \mathrm{\infty }}f(b_n)\le 0$.

Beraz, $f(x_0)=0$, eta Bolzanoren teorema demostratuta geratzen da.

Adierazpen grafikoa

Irudi honetan ikus dezakegun bezala, teoremaren baldintza guztiak betetzen dira, hau da, $f(a)>0$ eta $f(b)<0$ dira eta funtzioa jarraia da $[a,b]$ tartean. Beraz, ikusi dezakegunez, badago $c=x_0$ non $f(x_0)=0$ den.

Hala ere,ez da soilik puntu bakar bat egon behar eta posible da bat baino gehiago egotea.

Ikus, gainera

• Batez besteko balioaren teorema
• Rolleren teorema

Kanpo estekak

• Bolzano-ren teorema adibide praktikoa (English)