Borweinen algoritmoa

Borweinen algoritmoa Jonathan eta Peter Borweinek gauzatutako algoritmo bat da 1/π kalkulatzeko.

Honela jokatu behar da:

• Balio hauekin hasten da

  $a_0=6-4\sqrt{2}$

  $y_0=\sqrt{2}-1$

• Ondoren, formula hauekin iteratzen da

  $y_{k+1}=\frac{1-(1-y_k^4{)}^{1/4}}{1+(1-y_k^4{)}^{1/4}}$

  $a_{k+1}=a_k(1+y_{k+1}{)}^4-2^{2k+3}{y}_{k+1}(1+y_{k+1}+y_{k+1}^2)$

Orduan, a_k serieak konbergentzia laukoitza du 1/π-rantz; hau da, iterazio bakoitzean lau bider, gutxi gorabehera, handitzen da digitu zehatzen kopurua.

Konbergentzia-maila desberdintza honen bidez lortzen da:

$|\frac{1}{\pi }-a_n|<=16(4^n)(e^{-2\pi 4^n})$