Segida baten limite

Radioa 1eko luzera duen zirkulua inguratzen n-aldeko poligonoen segidak zirkuluaren perimetroaren berdina den muga du: $2\pi r$ . Inskribatutako poligonoen segidak muga bera du.

n	n sin (1/n)
1.	0,841471
2.	0,958851
...
10.-	0,998334
...
100%	0,999983

Zenbaki positibo osoa handitu ahala, $n\cdot \sin \left(\frac{1}{n}\right)$ funtzioaren emaitza $1$era hurbiltzen doa. Horrela, "$n\cdot \sin \left(\frac{1}{n}\right)$ segidaren limitea" $1$ dela esaten dugu.

Matematikan, segida baten limitea segida baten emaitza balore baterantzako joera duenean ematen da. maiz

$\lim$

ikurra erabiliz adierazten da, adibidez

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n$

. Limite hori badago, segidari konbergentea esaten zaio. Konbergentziarik ez duen segida bat dibergentea dela esaten da. Segida baten limitea oinarrizko noziotzat jotzen da. Izan ere, analisi matematiko osoa bere baitan oinarritzen baita.

Mugak edozein espazio metriko edo topologikotan defini daitezke, baina gehienetan zenbaki errealetan egoten dira lehenik.

Historia

Zenon Eleako filosofo grekoa ezaguna da prozesu mugatzaileak barnehartzen dituzten paradoxak formulatzeagatik.

Leuzipok, Demokritok, Antiphonek, Eudoxok eta Arkimedesek agortze-metodoa garatu zuten. Metodo horrek hurbilketa-segida infinitu bat erabiltzen du azalera edo bolumen bat zehazteko. Arkimedesek gaur egun serie geometriko deitzen dena laburtzea lortu zuen.

Grégoire de San Vicentek serie geometriko baten limitearen (terminus) lehen definizioa eman zuen bere Opus Geomémetricum (1647) lanean: "Progresio baten terminusa seriearen amaiera da, non ezin den inolako progresiorik lortu, nahiz eta infinituraino jarraitu, baina segmentu jakin bat baino gehiago hurbildu daitekeela".

XVIII. mendean, Eulerrek eta beste matematikari batzuek serie dibergente batzuk laburtzea lortu zuten. Ez zitzaien axola limitearen existentzia bera, kalkula zitekeen bitartean. Mende amaieran, Lagrangeren Théorie des fonctions analytiques (1797) azterlanean, zorroztasunik ezak kalkuluaren garapen handiagoa eragozten zuela erabaki zuen. Serie hipergeometrikoen inguruan egin zituen ikerketetan (1813), Gaussek zorrotz ikertu zituen lehen aldiz serie batek limite batera zer baldintzatan iristen zen.

Limitearen definizio modernoa (edozein ε-rentzat N indize bat dago; beraz...) Bernard Bolzanok (Der binomische Lehrsatz, lanean, nahiz garaian ospe gutxi jaso) eta Karl Weierstrassek 1870eko hamarkadan eman zuten .

Zenbaki errealak

{a_n} Segida konbergente baten bilbea urdinez ageri da. Hemen ikus daiteke segida 0 limitera hurbiltzen ari dela n handitu ahala.

Zenbaki errealetan, $L$ zenbaki bat $(x_n)$ segidaren limitea da, segidako zenbakiak gero eta $L$-tik hurbilago badaude, eta ez beste edozein zenbakitara.

Definizioa

$x$ $(x_n)$ segidaren limitea deitzen diogu, zeina honela idazten den

$x_n\to x$ edo

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=x$

baldintza hau betetzen bada:

$\epsilon >0$ zenbaki erreal bakoitzerako $N$ zenbaki arrunt bat dago, baldin eta $n\ge N$ zenbaki arrunt bakoitzerako $|x_n-x|<\epsilon$ dugun.