Deribagarritasun

Matematikan, tradizionalki, deribagarritasunaren (edo frogagarritasunaren) kontzeptua frogapenaren teorian deribazioen arabera definitzen da:

serieak edo zuhaitz-formako egiturakformulaz edo segidaz osatuta, proba-arauak eskatzen dituzten baldintza jakin batzuk betetzen dituztenak.

Normalean, deribazioen "indar-eragilea" baldintzazko adierazpenetan datza: xede-hizkuntzan dituen ondorioak.

h-ra doanean deribatuaren limitearen grafikoa

( $\phi \to \mathrm{\Psi }$), loturak meta-hizkuntzan$(\phi ,\mathrm{\Psi }⊢\phi \wedge \mathrm{\Psi })$, edo segidak inplikatzen dituzten proba-araua $(\text{if }\gamma ⊢\phi \text{ and }\gamma ,\mathrm{\Psi }⊢\mathrm{X}\text{ then }\gamma ,\phi \to \mathrm{\Psi }⊢\mathrm{X}).$

Deribagarritasuna eta jarraitasuna

Jarraitutasunaren eta deribagarritasunaren arteko erlazioa deskribatzen duten bi enuntziatu daude:

a) f deribagarria bada Xo-n orduan, f jarraia da Xo-n.

b) f jarraia bada $[a,b]$-n orduan, f deribatu bat da.

a) atalak ez du azalpen gehiagorik behar. b) atalak f = F´ baieztatzen duen F funtzio bat existitzen dela dio.

F funtzio honi f-ren antideribatua edo oinarrizkoa deritzo. f jarraia bada, badakigu b) atala egia dela, Kalkulu Integralaren oinarrizko teoremagatik.

Deribagarritasunaren azterketa funtzio jarraituetan

Hurrengo 3 adibideak funtzioen deribagarritasuna aztertzean aurki ditzakegun egoera guztiak hartzen dituzte:

Adibide 1 a eta b aurkitu, x=-1 denean hurrengo funtzioa deribagarria izan dadin:

$F(x)=\{\begin{array}{cc}a{x}^2+b,& \text{baldin eta }x\le -1\\ a{x}^3+x+2b,& \text{baldin eta }x>-1\end{array}$

Erantzuna: Alboko limiteak berdinduz x = -1-ean, $a+b=-a-1+2b$ lortzen dugu, finkatu behar dena jarraitasuna ziurtatzeko.

Gainera, $F^{\prime }(x)=2ax$ baldin eta $x<-1$ ; $F^{\prime }(x)=3a{x}^2+1$ baldin eta $x>-1$

$\lim F^{\prime }(x)=-2a$ (x=-1-era doanean ezkerretik) eta $\lim F^{\prime }(x)=3a+1$ (x = -1-era doanean eskumatik) dela egiaztatzen da. Beraz:

a) Baldin eta $-2a=3a+1$, $\lim F^{\prime }(x)$ x = -1-era doanean existitzen da eta $F$ deribagarria da x = -1 denean.

b) Baldin eta $-2a\ne 3a+1$, orduan $F$-k ez dauka deribaturik x = -1-ean, existituko balitz, orduan $F^{\prime }$ etenune bat izango litzateke x = -1-ean, eta hori ez da posiblea.

Adibide 2 Deribagarritasuna aztertu x = 0 $F(x)=\{\begin{array}{cc}{x}^{1/3},& \text{baldin eta }x\le 0\\ x^3,& \text{baldin eta }x>0\end{array}$-rena.

Erantzuna Funtzio hau jarraia da x = 0 denean. Gainera,

$F^{\prime }(x)=1/3x^{-2/3}$ baldin eta $x<0$ ; $F^{\prime }(x)=3x^2$ baldin eta $x>0$

Kasu honetan, $F$-k ez dauka deribaturik x = 0 denean.

Adibide 3 Hurrengo funtzioaren deribagarritasuna aztertu x=0 denean:

$F(x)=\{\begin{array}{cc}{x}^2\sin 1/x,& \text{baldin eta }x\ne 0\\ 0,& \text{baldin eta }x=0\end{array}$

Erantzuna Funtzio hau jarraia da x = 0 denean. Ikus dezagun $F^{\prime }(x)=2x\sin 1/x-\cos 1/x$ baldin eta $x\ne 0$

Beraz, $\lim F^{\prime }(x)$ x=0-ra doanean ez da existitzen. Egiaztatzen da $\lim \left(\frac{F(x)-F(0)}{x-0}\right)=0$ dela. Beraz, $F$ deribagarria da x=0 denean eta $F^{\prime }$ ez da jarraia x = 0 denean.