Homologia (matematika)

Matematikan (batez ere topologia aljebraikoan eta aljebra homologikoan), homologia emandako objektu matematiko bat (adibidez, espazio topologiko bat edo talde bat) talde abeldarren segida batekin (edo testuinguru orokorragoetan, moduluak edo abeldar kategoria baten gaineko edozein elementu) lotzeko prozedura orokorra da, hau da, ekintza funtoriala.

Topologia-espazio batean, homologia-taldeak askoz errazago zenbatzen dira homotopia-taldeak baino, eta, ondorioz, homologiarekin lan sinpleagoa egin ohi da, espazioak sailkatzen laguntzeko.

Teoria horren arrazoietako bat da batzuetan espazio topologikoen bikoteak bereiz ditzakegula, haien zuloak aztertuz. Adibidez:

• Zirkulua ez da disko baten baliokidea, zirkuluak zulo bat baitu haren erdian.
• Esfera bat ez da zirkulu baten baliokidea, esferak 2-dimentsioko zulo bat baitu, eta zirkuluak, berriz, 1-dimentsioko zulo bat.

Oro har, ez da berehalakoa ez zulo bat zer den definitzea, ez eta zulo mota desberdinak bereiztea ere. Horregatik, homologiaren jatorrizko motibazioa topologia-espazio bateko zuloak definitu eta sailkatzea izan zen, barietate batean, adibidez.

Homologia-taldeen definizioa honako kontzeptu hauetan oinarritzen da: zikloak - azpimota itxiak - mugak, zikloak eta aldi berean azpi-muga direnak -, eta homologia-klaseak - moduluak bateratzean, mugak lortzen ditugun baliokidetza-motak -. Orduan, homologia-mota bakoitza ziklo batek irudikatzen du, eta ziklo hori ez da inolako azpimultzoren muga, eta ziklo horren muga izango litzatekeen barietate baten falta adierazten du. Halaber, sorgailu bakoitzak zulo bat dagoela adierazten du, eta taldearen propietateek espazio topologikoaren egitura adierazten dute, bai eta dimentsioaren eta orientagarritasunaren nozioek ere.

Definizioa

Kate multzo bati lotutako homologien n-garren taldea honela definitzen da

$\dots \to A_{n+1}\stackrel{{\delta }_{n+1}}{\to }{A}_n\stackrel{{\delta }_n}{\to }{A}_{n-1}\to \dots$

non ${\delta }_n\circ {\delta }_{n+1}=0$

talde abeldarrean bezala

$H(A_n)=\frac{\ker ({\delta }_n)}{\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{(}{\mathrm{\delta }}_{\mathrm{n}\mathrm{+}\mathrm{1}}\mathrm{)}}.$

Notazioa hau ere erabiltzen da

$H_n(A)$ non $A$ kate multzoa baita.

$\ker ({\delta }_n)$ deitzen zaio $A_n$ barneko zikloei eta $\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{(}{\mathrm{\delta }}_{\mathrm{n}\mathrm{+}\mathrm{1}}\mathrm{)}$ deitzen zaio $A_n$ren mugei.

Esaten da homologiak kate-multzo baten zehaztasunik eza neurtzen duela maila bakoitzean. Adibidez, kate laburren konplexua bada

$0\to A_1\stackrel{a_1}{\to }{A}_2\stackrel{a_2}{\to }{A}_3\to 0$

orduan, hauek dira dagozkien homologia-taldeak:

$H(A_1)=\ker a_1,H(A_2)=\frac{\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}{a}_2}{\mathrm{i}\mathrm{m}{a}_1},H(A_3)=\frac{A_3}{\mathrm{i}\mathrm{m}{a}_2}$

Bistan da, segida zehatza balitz, talde horiek tribialak izango liratekeela (=0).

Erreferentziak

• Hatcher, Allen (2002) Algebraic Topology Cambridge University Press