Hurwitzen zeta funtzio

Matematikan, Hurwitzen zeta funtzioa zeta funtzio ugarietako bat da. Honela definitzen da formalki s argumentu konplexu baterako eta q argudio erreal baterako:

$\zeta (s,q)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(k+q{)}^{-s}.$

Segida hori konbergentea da q>0 eta Re(s)>1 direnean. q zenbaki ez-positibo osoa bada, jotzen da ez direla kontuan hartzen izendatzaile nulua duen ondorengoetako terminoak. Hala ere, oro har, bat 0 < q ≤ 1 baino ez da, eta horrek funtzio horri aplika dakizkiokeen formuletako asko sinplifikatzen ditu.

Kontuan izan behar da, berez, ez dagoela ezer q aldagaia konplexua ez izateko (kasu horretan, Re(q)>0 murrizketa naturala da, nahiz eta ezinbesteko baldintza ez izan). Hedapen hori beharrezkoa da Schwingerren formularako, elektroi bikoteen ekoizpen-erritmorako.

Hedapen analitikoa

Hurwitz-en zeta funtzioak s ≠ 1 duten zenbaki konplexu guztietarako zehaztutako funtzio meromorfiko baterako hedapen analitikoa izan dezake. s = 1 denean, 1 hondarreko polo bakuna du. Termino konstantea honela adierazten da:

$\underset{s\to 1}{\lim }[\zeta (s,q)-\frac{1}{s-1}]=\frac{-{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(q)}{\mathrm{\Gamma }(q)}=-\psi (q)$

non Γ baita Gamma funtzioa, eta ψ baita digamma funtzioa.

Segidaren irudikapena

1930ean, Helmut Hassek segida konbergente baten forma aurkitu zuen, q > −1ek definitua, eta zenbaki konplexu guztientzat s ≠ 1:

$\zeta (s,q)=\frac{1}{s-1}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(q+k{)}^{1-s}.$

Segida hori uniformeki bateratzen da s planoko azpimultzo trinko batean, funtzio oso batera. Barne-batuketak $q^{1-s}$ren n-garren diferentzia progresibo gisa ulertu behar da, hau da,

${\mathrm{\Delta }}^n{q}^{1-s}=\sum _{k=0}^n(-1{)}^{n-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(q+k{)}^{1-s}$

non Δ baita eragile diferentzial progresiboa. Beraz, baliagarria da baildin eta

$\zeta (s,q)=\frac{1}{s-1}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n+1}{\mathrm{\Delta }}^n{q}^{1-s}$

$=\frac{1}{s-1}\frac{\log (1+\mathrm{\Delta })}{\mathrm{\Delta }}{q}^{1-s}.$

Irudikapen integrala

Funtzioak Mellinen transformatuaren araberako irudikapen integrala du. Hau da:

$\zeta (s,q)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^{s-1}}{e^{qt}(1-e^{-t})}dt$

$\mathrm{\Re }s>1$$\mathrm{\Re }q>0$ denean.

Hurwitzen formula

Hurwitzen formulak teorema hau ezartzen du:

$\zeta (1-s,x)=\frac{1}{2s}[e^{-i\pi s/2}\beta (x;s)+e^{i\pi s/2}\beta (1-x;s)]$

izanik

$\beta (x;s)=2\mathrm{\Gamma }(s+1)\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\exp (2\pi inx)}{(2\pi n{)}^s}=\frac{2\mathrm{\Gamma }(s+1)}{(2\pi {)}^s}{\text{Li}}_s(e^{2\pi ix})$

zetaren adierazpen bat da, eta balio du$0\le x\le 1$$s>1$ -rentzat. Non, ${\text{Li}}_s(z)$ polilogaritmoa baiten.