Integral inpropio

Kalkuluan, funtzio baten integral inpropio bat integral zehatz baten limitea da, integrazio-tartearen mutur bateko edo bietako puntuak bere eremuan ez dagoen zenbaki batera hurbiltzen direnean, $\mathrm{\infty }$-ra edo $-\mathrm{\infty }$-ra. Gainera, integral definitu bat inpropioa da integral definituaren funtzio integratua integrazio-tarte osoan jarraitua ez denean. Bi egoerak ere gerta daitezke.

Muga infinituko integral inpropioak

Izan bedi $f:[a,b)\to \mathrm{\Re }$ eta $f$ $[a,t]-n$ integragarria (t>a zanik), $\mathrm{\exists }\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$, $\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$ integral inpropioa konbergentea da.

$\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{t}{\int }}f(x)dx$

Izan bedi $f:(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })\to \mathrm{\Re }$ eta $f$ $[t_1,t_2]-n$ integragarria. Orduan, $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$ integral inpropioa konbergentea da$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{a}{\int }}f(x)dx$ eta $\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$ konbergenteak direnean. Kasu horretan, $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{a}{\int }}f(x)dx+\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$.

Orokorrean,

$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{x^{\alpha }}dx=\{\begin{array}{cc}konbergentea,& \alpha >1\\ dibergentea,& \alpha \le 1\end{array}$

Funtzio ez-negatiboen integral inpropioen konbergentzia irizpideak

Konbergentzia irizpidea

Izan bitez $f,g:[a,\mathrm{\infty })\to \mathrm{\Re }$ funtzioa integragarriak $[a,t]-n$ (t>a zanik). Suposatu $0\le f(x)\le g(x)$ $\mathrm{\forall }x\ge a$. Orduan,

$\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}g(x)dx$ konbergentea $\Rightarrow \underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$ konbergentea

$\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$ dibergentea $\Rightarrow \underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}g(x)dx$ dibergentea

Froga

$0\le f(x)\le g(x)$ bada $\mathrm{\forall }x\ge a$

$\Rightarrow 0\le \underset{a}{\overset{t}{\int }}f(x)dx\le \underset{a}{\overset{t}{\int }}g(x)dx$. Beraz, $0\le \underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{t}{\int }}f(x)dx\le \underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{t}{\int }}g(x)dx$

Adibideak

Izan bedi $\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{x^5+7}dx$ integral inpropioa.

$0\le \frac{1}{x^5+7}\le \frac{1}{x^5}$, $x\ge 1$.

$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{x^5}dx$, $\alpha =5>1⟹$ konbergentea $\underset{}{\overset{konp.irizp}{\to }}\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{x^5}dx\ge \underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{x^5+7}dx$ konbergentea.

Limitearen irizpidea

Izan bitez $f,g:[a,\mathrm{\infty })\to \mathrm{\Re }$ funtzioa integragarriak $[a,t]-n$. Suposatu $0\le f(x)$ eta $0<g(x)$ $\mathrm{\forall }x\ge a$ eta $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=l$. Orduan,

(i) $l\ne 0,\mathrm{\infty }$

$\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$ konbergentea $\Rightarrow \underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}g(x)dx$ konbergentea

(ii) $l=0$

$\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}g(x)dx$ konbergentea $\Rightarrow \underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$ konbergentea

(iii) $l=\mathrm{\infty }$

$\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}g(x)dx$ dibergentea $\Rightarrow \underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$ dibergentea

Froga

(i) $l\ne 0,\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=l⟺[\mathrm{\forall }\epsilon >0:\mathrm{\exists }M>0,x>M\Rightarrow |\frac{f(x)}{g(x)}-l|<\epsilon ]$

Kasu partikularra, $\epsilon =\frac{l}{2}$. Orduan,

$|\frac{f(x)}{g(x)}-l|<\frac{l}{2}⟺-\frac{l}{2}<\frac{f(x)}{g(x)}-l<\frac{l}{2}⟺\frac{l}{2}<\frac{f(x)}{g(x)}<\frac{3l}{2}⟺0\le \frac{l}{2}g(x)\le f(x)\le \frac{3l}{2}f(x)$

(ii) $l=0$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\mathrm{\infty }⟺[\mathrm{\forall }k>0:\mathrm{\exists }M>0,x>M\Rightarrow \left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|<k]$

Kasu partikularra, k=1:

$\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|<1⟹\frac{f(x)}{g(x)}<1⟹f(x)<g(x)>0$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$ $konbergentea⟸\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}g(x)dx$ $konbergentea$

Adibideak

$\underset{2}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x+1}{\sqrt{x^3}}dx$ integral inpropioaren konbergentzia aztertu.

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\frac{x+1}{\sqrt{x^3}}}{\frac{x+1}{\sqrt{x}}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{(x+1)\sqrt{x}}{x\sqrt{x}}=1⟹$ f(x) eta g(x) bera izaera bera dute.

Orduan,

$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{\sqrt{x}}dx$ $dibergentea(\alpha =\mathrm{1}/\mathrm{2}<1)$ $⟹\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x+1}{\sqrt{x^3}}dx$ dibergentea

Konbergentzia absolutua

Funtzioa negatiboa denean konbergentzia absolutua aztertu behar da.

$\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|f(x)|dx$ konbergente $⟹\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$ absolutuki konbergente $⟹\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$ konbergente eta $\left|\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx\right|\le \underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|f(x)|dx$

Adibideak

$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{sin(x)}{x^3}dx$ -ren konbergentzia aztertu:

$\left|\frac{sin(x)}{x^3}\right|\le \frac{|sin(x)|}{x^3}=\frac{1}{3}$ $,x>1$

$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{x^3}dx$ eta $\alpha =3>1$ denez, integrala konbergentea da. Horrek inplikatzen du $\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\left|\frac{sin(x)}{x^3}\right|dx$ konbergentea izatea eta, beraz, $\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{sin(x)}{x^3}dx$ absolutuki konbergentea $⟹\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{sin(x)}{x^3}dx$ konbergentea.