Kalkulu infinitesimal

Kalkulu infinitesimala analisi matematikoaren adarra da, funtzio jarraituen aldakuntza arrazoiak edo tasak aztertzen dituena. Bi alor nagusi ditu, kalkulu diferentziala eta kalkulu integrala, kalkuluaren oinarrizko teoremak lotzen dituena. Isaac Newton eta Gottfried Wilhelm Leibniz hartzen dira kalkulu infinitesimalaren sortzailetzat.

Historia

Arkimedesek exhauzio-metodoa erabili zuen zirkuluaren azalera kalkulatzeko.

Kalkulu infinitesimalaren oinarrizko kontzeptua limitearena da. Kontzeptu hori antzinako greziarrek geometrian erabili izan zuten lehenik; Arkimedesek, adibidez, poligono ekilateroak inskribatu zituen zirkulu batean eta poligonoen aldeen kopurua edo zenbatekoa handitu ahala lortzen ziren poligonoen azaleraz, zirkuluaren azalerari buruzko hurbilketa lortu zuen limite gisa. Emaitza hori eta zirkunskibaturiko poligonoak erabiliz, zirkunferentziaren azalera lortu ahal izan zuen: $\pi r^2.$ alegia, bertan r zirkunferentziaren erradioa delarik, eta $\pi$, berriz, 3,141592… balioa duen konstantea.

Tradizioak dioenez, zuhaitz batetik erori zen sagar baten higidura aztertu ondoren bururatu zitzaion Isaac Newtoni kalkulu infinitesimalaren asmaketa: sagar bat erortzen denean, gero eta azkarrago higitzen bada, lastertasunaz gainera azelerazioa duelako da; gertaera fisiko hori matematikoki adierazterakoan garatu zuen Newtonek kalkulu infinitesimala. Hark zioenez, higiduraren edozein unetan sagarrak $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{s}$ distantzia gehigarria egiten zuen $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{t}$ denbora tarte txiki gehigarri bakoitzeko; beraz batez besteko lastertasuna $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{s}$ distantziaren eta $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{t}$ denboraren arteko zatiduraz adierazten zuen:

${\overrightarrow{v}}_b=\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{s}}{\mathrm{\Delta }t}$

Aldiuneko lastertasuna ($v$) $\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{s}}{\mathrm{\Delta }t}$ zatiduraren limiteaz adierazi zuen, $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{t}$ zerora hurbiltzen zenean, hau da:

$v=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{\text{d}s}{\text{d}t}$

$ds$-ri $s$-ren diferentziala deritza, eta $dt$-ri, berriz, $t$-ren diferentziala.