Matematika-erlazio

Matematikan, $A_1,A_2,\dots ,A_n$ multzoetako $R$ matematika-erlazioa, biderkadura kartesiarraren azpimultzo bat da

$R\subseteq A_1\times A_2\times \dots \times A_n$

Esaterako, erlazio bitarra bi multzoen arteko matematika-erlazioa da.

Erlazioaren kontzeptuak ban-banan aipatzearen ideia dauka, n-koteak osatzen duten multzoetako hainbat elementuena.

$R(a_1,a_2,\dots ,a_n)\text{edo baita ere}(a_1,a_2,\dots ,a_n)\in R$

Kasu berezia da multzoak berdinak direnean: $A_1=A_2=\dots =A_n$. Kasu horretan $A\times A\times \dots \times A$ honela adierazten da: $A^n$.

$R\subseteq A^n$

$R$, $A$ multzoaren erlazio bat izanik, erlazio bat mota ezberdinetakoa izan daiteke:

• Erlazio bat erreflexiboa da baldin eta a$R$a bada $\mathrm{\forall }$a$\in$$A$-rako.
• Erlazio bat simetrikoa da baldin eta a$R$b denenan b$R$b bada.
• Erlazio bat trantsitiboa da baldin eta a$R$b eta b$R$c denean, a$R$c bada.
• Erlazio bat antisimetrikoa da baldin eta a$R$b eta b$R$a denean, a=b bada.

Erlazio bat simetrikoa eta antisimetrikoa bada aldi berean, horrek trantsitiboa izango dela inplikaten du.

Berdintzak

$R$, $A$ multzoaren erlazio bat izanda existitzen bada erlazio bat zeinek lau propietateak betetzen dituen, erlazio horri berdintza deituko zaio.

$R=\{(a,a)|a\in A\}$

Baliokidetasun erlazioak

Baliokidetasun erlazio bat sortzeko propietate antisimetrikoa kenduko dugu, hau da, erlazioa erreflexiboa, simetrikoa eta trantsitiboa izan beharko da. Baliokidetasun erlazioa adierazteko $aRb$, $a\sim b$ edo $a\equiv b$ erabiliko dugu.

Baliokidetasun klaseak

Baliokidetasun klasea a-rekin erlazionatuta dauden elementuen multzoa da, $R$ $A$ multzoaren gainean definitutako baliokidetasun erlazioa bada eta a$\in$$A$ bada. $[a]=\{x\in A|xRa\}$

Adibidea

$\mathbb{Z}$-n, $R=\{(a,b)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}:\left|a\right|=\left|b\right|\}$ non $\left|a\right|$-k $a$-ren balio absolutua esan nahi duen.

$\left|a\right|=\{\begin{array}{cc}a,& a>0\text{ bada }\\ -a,& a<0\text{ bada}\end{array}$

• Erreflexiboa da. Izan ere, $\left|a\right|=\left|a\right|,\mathrm{\forall }a\in \mathbb{Z}$.
• Simetrikoa da; hau da, $\left|a\right|=\left|b\right|⟹\left|b\right|=\left|a\right|,\mathrm{\forall }a,b\in \mathbb{Z}$.
• Trantsitiboa da, $(\left|a\right|=\left|b\right|\text{eta}\left|b\right|=\left|c\right|)⟹\left|a\right|=\left|c\right|$ betetzen baita.
• Ez da antisimetrikoa. Izan ere, $\left|2\right|=|-2|\text{ eta }|-2|=\left|2\right|,\text{ baina }2\ne -2$.

Beraz, balio absolutua baliokidetasun-erlazioa da.

Honako hauek izango dira baliokidetasun klaseak:

$[a]=\{x\in \mathbb{Z}:\left|a\right|=\left|x\right|\}=\{a,-a\}$

Ordena erlazioak

Baliokidetasun erlazioa sortzeko orduan propietate antisimetrikoa zen kontuan hartu behar ez genuena. Ordena erlazioetan, aldiz, propietate simetrikoa da kanpoan geldituko dena. Honek esan nahi du ordena erlazioa sortzeko ezinbestekoa dela erlazioa erreflexiboa, simetrikoa eta antisimetrikoa izatea.

Izenak argi adierazten duen moduan, ordena erlazioak ohiko zenbakien gaineko ordena adierazten du. Adibidez zenbaki arrunten (ℕ) multzoak ordena erlazioa betetzen du, eta modu berean zenbaki errealen ($ℝ$) edo arrazionalen ($\mathbb{Q}$) multzoek.