Lorentzen transformazio

Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928),1921an. Lorentz-en transformazioek bere izena jaso zuten bere omenez.

Fisikan, Lorentz-en transformazioa Minkowski-ren espazio-denborako koordenatu sistema batetik honekiko abiadura konstantez higitzen ari den beste koordenatu sistema baterako sei parametrodun transformazio linealen familia da. Honi dagokion alderantzizko transformazioa abiadura honen negatiboaz parametrizatzen da. Transformazioa garatu zuen Hendrik Lorentz Herbehereetako fisikariaren omenez du izena.

Historia

Hainbat fisikarik -Woldemar Voigt, Oliver Heaviside, Joseph Larmor eta Hendrik Lorentz berak, besteak beste- Lorentz-en transformazioek deskribatutako fisika 1887tik eztabaidatu zuten. 1889an, Oliver Heaviside-ek frogatu zuen, Maxwell-en ekuazioetatik, karga-banaketa esferiko baten inguruko eremu elektrikoak simetria esferikoa galdu beharko lukeela karga eterrarekiko higidura erlatiboan egonda. Ondoren, FitzGerald-ek Heaviside-ren distortsioa indar intermolekularri buruzko teoria batean aplika litzatekeela susmatu zuen. Hilabete batzuk beranduago, FitzGerald-ek higitzen ari diren gorputzak uzkurtzen direlako hipotesia argitaratu zuen, 1887ko Michelson-Morley esperimentuaren emaitza harrigarriak azaltzeko asmoz. 1892an, Lorentz-ek modu independentean eta detaile handiagoz ideia berdina aurkeztu zuen, FitzGerald-Lorentz uzkurdura izena jaso zuena. Haien azalpena oso ezaguna zen 1905 baino lehen.

Lorentz (1892-1904) eta Larmor-ek (1897-1900), eter argitsuaren hipotesia sinesten zutenek, eterretik koordenatu-sistema higikor batera transformatzean Maxwell-en ekuazioak aldaezin mantentzen zituzten transformazioa bilatu zuten. FitzGerald-Lorentz uzkurdura hipotesia hedatu zuten, denbora-koordenatua ere aldatu behar dela aurkituz (denbora lokala). Henri Poincaré-k denbora lokalaren interpretazio fisikoa eman zuen (argiaren abiadurarekiko normalizatutako bi erreferentzia-sistemen arteko abiadura erlatiboaren, $v/c$-ren, lehen ordeneraino) erlojuen sinkronizazioaren ondorio gisa, sistema higikorretan argiaren abiadura konstantea dela onartuz. Larmor bere ekuazioei datxekien denbora-zabalkuntzaren propietate garrantzitsua ulertzen lehena izan omen zen.

1905ean, Poincaré transformazioa talde matematiko baten propietateak dituela ohartzen lehena izan zen, eta Lorentz-en omenez izendatu zuen. Beranduago urte berean Albert Einstein-ek erlatibitate berezia argitaratu zuen, erlatibitate-printzipioa eta argiaren abiadura edozein koordenatu-sistema inertzialetan konstantea dela onartuta (eta eterraren ideia alde batera utzita) Lorentz-en transformazioa deribatuz.

Lorentz-en transformazioaren formulazioa

Koordenatuen transformazioa

$S$ erreferentzia-sistemako behatzaile "geldikor" batek gertaerak $t,x,y,z$ koordenatuekin definitzen ditu; $S$-rekiko $v$ abiadura konstantez higitzen ari den $S^{\prime }$ erreferentzia-sistemako behatzaile "higikor" batek, $t^{\prime },x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }$ koordenatuez.

S eta S' erreferentzia-sistemen koordenatu-ardatzak. Bi sistemetako ardatzak paraleloak dira, eta v abiadura erlatiboa xx' ardatzen paraleloa da ere.

Bi erreferentzia-sistematako epazio-koordenatuetako ardatzak elkarren paraleloak dira ($x$ eta $x^{\prime }$ elkarren paraleloak dira, $y$ eta $y^{\prime }$ elkarren paraleloak dira, eta $z$ eta $z^{\prime }$ elkarren paraleloak dira), sistema bereko ardatzak elkarren perpendikular mantentzen dira, eta bi sistemen arteko higidura erlatiboa bat datozen $x{x}^{\prime }$ ardatzetan zeharrekoa da ($v$ abiadura erlatiboa $x{x}^{\prime }$ ardatzen paraleloa da). $t=t^{\prime }=0$ aldiunean, bi koordenatu-sistemetako jatorriak berdinak dira, $(x,y,z)=(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })=(0,0,0)$. Baldintza hauek betetzen direnean koordenatu-sistemak konfigurazio estandarrean edo sinkronizatuta daudela deritzo.

$S^{\prime }$ sistemako behatzaileak gertaera definitzeko erabiltzen dituen koordenatuak $S$ sistemakoarekin Lorentz-en transformazioen bidez erlazionatuta daude:

$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=\gamma (x-vt)\\ y^{\prime }=y\\ z^{\prime }=z\\ t^{\prime }=\gamma (t-\frac{vx}{c^2})\end{array}$

Hemen $v$ bi koordenatu-sistemen arteko abiadura erlatibo konstantea, $c$ argiaren abiadura, eta $\gamma$ Lorentz-en faktorea dira. Azken hau hurrengo moduan definituta dago:

$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

Hemen, $v$ transformazioaren parametroa da, eta boost jakin baterako konstantea da. Honen balioa $-c<v<c$ tarte jarraituko edozein izan daiteke (Lorentz-en faktoraren kasuan, $1\le \gamma <\mathrm{\infty }$). Erabilitako konfigurazio honetan, $v>0$ abiadura erlatibo positiboa $x{x}^{\prime }$ ardatzetan zeharreko higidura positiboa da, $v=0$ higidura erlatibo eza da, eta $v<0$ $x{x}^{\prime }$ ardatzetan zeharreko higidura higidura.

Tarte horretatik kanpo, transformazio horiek ez daude definituta. Argiaren abiaduran ($v=c$) $\gamma$ infinitua da, eta argiaren abiaduratik haratago ($v>c$) $\gamma$ zenbaki konplexua da. Bi kasuetan transformazioek zentzu fisikoa galtzen dute, koordenatu espazio-denboralak magnitude neurgarriak direnez zenbaki errealak izan behar baitira.

Transformazio aktibo baten gisara, $S^{\prime }$ sistemako behatzaileak gertaeraren koordenatuak $x{x}^{\prime }$ ardatzetako noranzko negatiboetan zehar boost (bultzada, ingelesez) bat jasotzen dutela ikusten du, transformazioetako $-v$ dela eta. Honek $S^{\prime }$ koordenatu-sistema $x{x}^{\prime }$ ardatzetako noranzko positiboetan zehar boost bat jasotzearen efektu baliokidea du, bigarren kasu honetan gertaera aldatu gabe mantenduz eta beste koordenatu-sistema ezberdin batean adieraziz, hau da, transformazio pasibo bat adieraziz.

Alderantzizko erlazioak ($t,x,y,z$ koordenatuak $t^{\prime },x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }$ koordenatuen menpe) aurreko ekuazio-sistema algebraikoki ebatziz lor daitekezke. Beste modu eraginkorrago bat printzipio fisikoak erabiltzean datza. Alderantzizko erlazioak bilatzean, $S^{\prime }$ erreferentzia-sistema geldikorra da, eta $S$ erreferentzia-sistema higikorra. Erlatibitate printzipioaren arabera, ez dago erreferentzia-sistema pribilegiaturik, eta $S^{\prime }$-tiko $S$-rako transformazioek $S$-tiko $S^{\prime }$-rako transformazioen itxura berbera eduki behar dute. Ezberdintasun bakarra abiadura erlatiboaren noranzkoa da, $S$ $-v$ abiaduraz mugitzen baita $S^{\prime }$-rekiko. Horrela, $S^{\prime }$-ko behatzaileak gertaera bat $t^{\prime },x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }$ koordenatuen menpe definitzen badu, $S$ sistemako behatzaileak gertaera bera hurrengo koordenatuekin definitzen du:

$\{\begin{array}{c}t=\gamma (t^{\prime }+\frac{v{x}^{\prime }}{c^2})\\ x=\gamma (x^{\prime }+v{t}^{\prime })\\ y=y^{\prime }\\ z=z^{\prime },\end{array}$

Lorentz-en faktorearen balioa berdin mantentzen da. Abiadura erlatiboaren magnitudea mantentzea eta noranzkoa alderanztea (primadun eta primarik gabeko magnitudeak elkartrukatuz) alderantzizkoz transformazioa lortzeko "trikimailua" edozein norabidetan zeharreko boost guztiei aplika dakieke.

Batzuetan komenigarriagoa da $\beta =\frac{v}{c}$ erabiltzea $v$-ren ordez:

$\{\begin{array}{c}c{t}^{\prime }=\gamma (ct-\beta x)\\ x^{\prime }=\gamma (x-\beta ct)\end{array}$

Honek argiago erakusten du transformazioaren simetria. $v$-ren baimendutako balioak eta $\beta$-ren definizioa kontuan hartuta, $-1<\beta <1$. $\beta$ eta $\gamma$-ren erabilera estandarra da literaturan. Lorentz-en faktorea $\beta$-ren funtzioan:

$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}$

Lorentz-en transformazioak funtzio hiperbolikoen funtzioan

Lorentz-en transformazioak espazio tridimentsionaleko errotazio zirkularren antzera adieraz daitezke, funtzio hiperbolikoak erabiliz. $x$ noranzkoko boost baterako:

$\{\begin{array}{c}c{t}^{\prime }=ct\cosh \zeta -x\sinh \zeta \\ x^{\prime }=x\cosh \zeta -ct\sinh \zeta \\ y^{\prime }=y\\ z^{\prime }=z\end{array}$

Hemen $\zeta$ azkartasuna da. Espazio tridimentsionaleko ($xy$, $yz$ eta $zx$ plano kartesiarretan) koordenatu espazialen errotazioekiko antzekotasuna handia izanik, Lorentz boost bat lau dimentsiotako Minkowski-ren espazioan ($xt$, $yt$ eta $zt$ plano kartesiar-denboraletan) emandako errotazio hiperboliko gisa har daiteke. $\zeta$ parametroa errotazioaren angelu hiperbolikoa da, errotazio zirkular normalen analogoa. Transformazio hau Minkowski-ren diagrama baten bidez irudikatu daiteke.

Funtzio hiperbolikoak espazio-denbora tarteko denbora- eta espazio-koordenatuen karratuen kendura da, batura izan beharrean. Funtzio hiperbolikoen esanahia transformazioetan $x=0$ edo $ct=0$ eginez ikustarazi daiteke. Emaitzen karratuen kendura eginez, koordenatu konstantetako eta $\zeta$ aldakorreko kurba hiperbolikoak lor daitezke. Azkartasunak kurbak parametrizatzen ditu hurrengo identitatearen arabera:

${\cosh }^2\zeta -{\sinh }^2\zeta =1$

Alderantziz, $ct$ eta $x$ ardatzak koordenatu aldakorretarako eta $\zeta$ konstanterako eraiki daitezke. Hurrengo definizioak,

$\tanh \zeta =\frac{\sinh \zeta }{\cosh \zeta },$

azkartasunaren balio konstante baten eta espazio-denborako $ct$ ardatzaren maldaren arteko lotura ezartzen du. Azken bi formula hiperbolikoetatik Lorentz faktorearen forma duen hurrengo identitatea ondorioztatzen da:

$\cosh \zeta =\frac{1}{\sqrt{1-{\tanh }^2\zeta }}.$

Lorentz-en transformazioak abiadura erlatiboaren eta azkartasunaren funtzioan konparatuz, edo goiko formulak erabiliz, $\beta$, $\gamma$ eta $\zeta$-ren arteko erlazioak hurrengoak dira:

$\{\begin{array}{c}\beta =\tanh \zeta \\ \gamma =\cosh \zeta \\ \beta \gamma =\sinh \zeta \end{array}$

Alderantzizko tangente hiperbolikoak azkartasuna ematen du abiadura erlatiboaren menpe:

$\zeta ={\tanh }^{-1}\beta .$

$-1<\beta <1$ denez, $-\mathrm{\infty }<\zeta <\mathrm{\infty }$. $\zeta$ eta $\beta$ parametroen arteko erlaziotik, azkartasun positiboak ($\zeta >0$) $x{x}^{\prime }$ ardatzetan zeharreko higidura positiboa deskribatzen du; azkartasun nuluak, ($\zeta =0$) higidura erlatibo eza; eta azkartasun negatiboak ($\zeta <0$), $x{x}^{\prime }$ ardatzetan zeharreko higidura negatiboa.

Alderantzizko transformazioak magnitude primatuak eta primatu gabekoak elkartrukatuz eta $\zeta \to -\zeta$ eginez (abiadura erlatiboaren noraznkoa alderanzkatzearen baliokidea) lortzen dira. Horrela,

$\{\begin{array}{c}ct=c{t}^{\prime }\cosh \zeta +x^{\prime }\sinh \zeta \\ x=x^{\prime }\cosh \zeta +c{t}^{\prime }\sinh \zeta \\ y=y^{\prime }\\ z=z^{\prime }\end{array}$

Tarteen Lorentz-en transformazioa

Orain arte Lorentz-en transformazioa gertaera bakarrari aplikatu zaio. Bi gertaera egotekotan, bien arteko espazio-denborako tartea dago. Lorentz-en transformazioa lineala denez, transformazioa bi gertaerei aplika dakieke eta bien arteko kendura egin tarteen transformazioak kalkulatzeko:

$\{\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }=\gamma (\mathrm{\Delta }t-\frac{v\mathrm{\Delta }x}{c^2})\\ \mathrm{\Delta }{x}^{\prime }=\gamma (\mathrm{\Delta }x-v\mathrm{\Delta }t)\\ \mathrm{\Delta }{y}^{\prime }=\mathrm{\Delta }y\\ \mathrm{\Delta }{z}^{\prime }=\mathrm{\Delta }z\end{array}$

Alderantzizko erlazioak:

$\{\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }t=\gamma (\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }+\frac{v\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }}{c^2})\\ \mathrm{\Delta }x=\gamma (\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }+v\mathrm{\Delta }{t}^{\prime })\\ \mathrm{\Delta }y=\mathrm{\Delta }{y}^{\prime }\\ \mathrm{\Delta }z=\mathrm{\Delta }{z}^{\prime }\end{array}$

$\mathrm{\Delta }$ ikurrak magnitude batzuen arteko desberdintasuna adierazten du: adb., $\mathrm{\Delta }x=x_2-x_1$ $x$-ren bi baliotarako, etab.

Tarteen transformazioak (gertaera bakarraren koordenatuenen ordez) hainbat arrazoi direla-eta dira erabilgarriak:

• Kalkulu eta esperimentuetan, bi puntuen arteko luzera edo denbora-tarteak neurtzen dira (adb., higitzen ari den ibilgailu baten luzera, edo leku batetik bestera bidaiatzeko behar den denbora).
• Abiaduren transformazioa tarte infiitesimalak hartuz eta ekuazioak zatituz lor daitezke, eta azelerazioena prozesu berdinez.
• Koordenatu-sistemak ez badatoz bat inoiz (hau da, ez badaude konfigurazio estandarrean), eta bi behatzaileek gertaera bat ados badezakete $t_0,x_0,y_0,z_0$ eta $t{\text{'}}_0,x{\text{'}}_0,y{\text{'}}_0,z{\text{'}}_0$ koordenatuetan $S$ eta $S^{\prime }$ erreferentzia-sistematan, hurrenez hurren, gertaera hori jattori gisa erabili dezakete, eta espazio-denborako koordenatuen tarteak haien koordenatuen eta jatorri honen arteko tarteak dira: $\mathrm{\Delta }x=x-x_0$, $\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }=x^{\prime }-x{\text{'}}_0$, etab.

Bektoreen transformazioak

Bektoreen erabilerak posizioak eta abiadurak norabide arbitrariotan modu konpaktuan adieraztea ahalbidetzen du. Edozein noranzkotan zeharreko boost bat abiadura erlatiboaren bektorearen ($𝐯$, $v$ modulukoa) menpekoa da.

Transformazioetan, denbora eta higidura erlatiboaren norabidearen paraleloak diren koordenatuak baino ez dira aldatzen, honekiko perpendikularrak direnak berdin mantentzen direlarik. Hau kontuan hartuta, posizio-bektore espaziala, $𝐫$ $S$ erreferentzia-sisteman eta ${𝐫}^{\prime }$ $S^{\prime }$-n, $𝐯$-rekiko osagai perpendikular ($\perp$) eta paralelotan ($\parallel$) banatzen da:

$𝐫={𝐫}_{\perp }+{𝐫}_{\Vert },{𝐫}^{\prime }={{𝐫}_{\perp }}^{\prime }+{{𝐫}_{\Vert }}^{\prime }$

Horrela, transformazioak horrela adierazten dira, non $\cdot$ biderketa eskalarra den:

$\{\begin{array}{c}{t}^{\prime }=\gamma (t-\frac{𝐫\cdot 𝐯}{c^2})\\ {{𝐫}_{\Vert }}^{\prime }=\gamma ({𝐫}_{\parallel }-𝐯t)\\ {{𝐫}_{\perp }}^{\prime }={𝐫}_{\perp }\end{array}$

Alderantzizko transformazioa primadun eta primatu gabeko koordenatuak elkartrukatuz eta abiadura alderantzizkatuz lortzen da:

$\{\begin{array}{c}t=\gamma (t^{\prime }+\frac{{𝐫}^{\prime }\cdot 𝐯}{c^2})\\ {𝐫}_{\Vert }=\gamma ({{𝐫}^{\prime }}_{\parallel }+𝐯t)\\ {𝐫}_{\perp }={{𝐫}^{\prime }}_{\perp }\end{array}$

Lorentz-en faktoreak definizio berdina mantentzen du edozein norabidetako boost baterako, abiadura erlatiboaren moduluaren menpekoa baino ez da. Berriro ere $\mathit{\beta }=\frac{𝐯}{c}$ defini dezakegu, $0\le \beta <1$ magnitudekoa.

Bestalde, $𝐧=\frac{𝐯}{v}=\frac{\mathit{\beta }}{\beta }$ higidura erlatiboaren noraznkoko bektore unitarioa definituz, abiadura erlatiboa $𝐯=v𝐧$ da, $v$ magnitude eta $𝐧$ noranzkokoa. Horrela,

${𝐫}_{\parallel }=(𝐫\cdot 𝐧)𝐧,{𝐫}_{\perp }=𝐫-(𝐫\cdot 𝐧)𝐧$

Emaitza hauek transformazio osoak ematen dituzte:

$\{\begin{array}{c}{t}^{\prime }=\gamma (t-\frac{v𝐧\cdot 𝐫}{c^2})\\ {𝐫}^{\prime }=𝐫+(\gamma -1)(𝐫\cdot 𝐧)𝐧-\gamma vt𝐧\end{array}$

Alderantzizko transformazioak primatutako eta primatu gabeko koordenatuak elkartrukatu eta abiaduraren noraznkoa alderantzizkatu ($𝐯\to -𝐯$ edo $𝐧\to -𝐧$, $v$ modulua positiboa delako) egiten dira:

$\{\begin{array}{c}t=\gamma (t^{\prime }+\frac{{𝐫}^{\prime }\cdot v𝐧}{c^2})\\ 𝐫={𝐫}^{\prime }+(\gamma -1)({𝐫}^{\prime }\cdot 𝐧)𝐧+\gamma v{t}^{\prime }𝐧\end{array}$

Bektore unitarioak boost bakar bateko ekuazioak sinplifikatzen ditu, baina ez da komenigarria boost bat baino gehiagorako.

Abiadura erlatibo eta azkartasunaren arteko harreman bektoriala:

$\mathit{\beta }=\beta 𝐧=𝐧\tanh \zeta$

Horrela, "azkartasun bektorea":

$\mathit{\zeta }=\zeta 𝐧=𝐧{\tanh }^{-1}\beta$

Honen moduluaren baimendutako tartea $0\le \zeta <\mathrm{\infty }$ da.

S eta S' erreferentzia-sistema inertzialen, haien arteko $v$ abiadura erlatiboaren eta neurtutako abiaduren ($𝐮$ eta ${𝐮}^{\prime }$, gezi etenak) diagrama. Diagrama errazteko, $𝐮$ eta, ondorioz, ${𝐮}^{\prime }$, $xy$ eta $x^{\prime }{y}^{\prime }$ planoetan egotea hautatu da, hurrenez hurren.

Abiaduren transformazioa

Berriro ere $S$ eta $S^{\prime }$ koordenatu-sistema sinkronizatuak kontsideratzen ditugu, non haien arteko abiadura erlatiboa $x{x}^{\prime }$ ardatzekiko paraleloa den. Erreferentzia-sistema bakoitzeko abiadurak koordenatu espazialen denborarekiko deribatu gisa definituta ($\frac{dx}{dt}=\dot{x}$), bi sistemetako abiadurak ($𝐮=(\dot{x},\dot{y},\dot{z})$ eta ${𝐮}^{\prime }=({\dot{x}}^{\prime },{\dot{y}}^{\prime },{\dot{z}}^{\prime })$ $S$ eta $S^{\prime }$ erreferentzia-sistematan, hurrenez hurren) erlazionatzen dituzten Lorentz-en transformazioak hurrengoak dira:

$\{\begin{array}{c}{\dot{x}}^{\prime }=\frac{\dot{x}-v}{1-v\dot{x}/c^2}\\ {\dot{y}}^{\prime }=\frac{\dot{y}}{\gamma (1-v\dot{x}/c^2)}\\ {\dot{z}}^{\prime }=\frac{\dot{z}}{\gamma (1-v\dot{x}/c^2)}\end{array}$

Alderantzizko transformazioak, berriro ere, abiadura erlatiboaren zeinua aldatuz eta primatu gabeko eta primatutako koordenatuak elkartrukatuz lortzen dira:

$\{\begin{array}{c}\dot{x}=\frac{{\dot{x}}^{\prime }+v}{1+v{\dot{x}}^{\prime }/c^2}\\ \dot{y}=\frac{{\dot{y}}^{\prime }}{\gamma (1+v{\dot{x}}^{\prime }/c^2)}\\ \dot{z}=\frac{{\dot{z}}^{\prime }}{\gamma (1+v{\dot{x}}^{\prime }/c^2)}\end{array}$

Abiaduraren transformazioa erabilgarria da aberrazio estelarra, Fizeau esperimentua, eta Doppler efektu erlatibista aztertzerakoan.

Formulazio tentsoriala

Notazio tentsoriala oso erabilgarria da Lorentz-en transformazioarekin lan egitean. $x^{\mu }$ (non $\mu =0,1,2,3$ izan daitekeen) posizio-denbora tetrabektorea hurrengo moduan definitzen dugu:

$x^0=ct,x^1=x,x^2=y,x^3=z\Rightarrow x^{\mu }=(ct,x,y,z)=(c,𝐫)$

Koordenatuen transformazioa

Hauen menpe Lorentz-en transformazioa simetrikoagoak dira ($\gamma$ eta $\beta$ faktoreen definizioa berdina da):

$\{\begin{array}{c}{x}^{0^{\prime }}=\gamma (x^0-\beta x^1)\\ x^{1^{\prime }}=\gamma (x^1-\beta x^0)\\ x^{2^{\prime }}=x^2\\ x^{3^{\prime }}=x^3\end{array}$

Eta alderantzizkoa:

$\{\begin{array}{c}{x}^0=\gamma (x^{0^{\prime }}+\beta x^{1\text{'}})\\ x^1=\gamma (x^{1^{\prime }}+\beta x^{0\text{'}})\\ x^2=x^{2^{\prime }}\\ x^3=x^{3^{\prime }}\end{array}$

Transformazio zuzen eta alderantzizkoa era laburragoa adierazteko (erreferentzia-sistema konkretu hauetarako) hurrengo matrizeak definitzen dira:

${\mathrm{\Lambda }}_{\nu }^{{\mu }^{\prime }}=\left(\begin{array}{cccc}\gamma & -\gamma \beta & 0& 0\\ -\gamma \beta & \gamma & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right),{\mathrm{\Lambda }}_{{\nu }^{\prime }}^{\mu }=\left(\begin{array}{cccc}\gamma & \gamma \beta & 0& 0\\ \gamma \beta & \gamma & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

Horrela geratzen dira Lorentz-en transformazioak:

$x^{{\mu }^{\prime }}={\mathrm{\Lambda }}_{\nu }^{{\mu }^{\prime }}{x}^{\nu },x^{\mu }={\mathrm{\Lambda }}_{{\nu }^{\prime }}^{\mu }{x}^{{\nu }^{\prime }}$

Einstein-en batuketa hitzarena erabiltzen dugu: gai batean indize bat goiko eta beheko posizioetan agertzen bada, bere balio guztietarako batuketa egiten dela ulertu behar da. Aurreko adierazpenetik:

${\mathrm{\Lambda }}_{\nu }^{{\mu }^{\prime }}=\frac{\partial x^{{\mu }^{\prime }}}{\partial x^{\nu }},{\mathrm{\Lambda }}_{{\nu }^{\prime }}^{\mu }=\frac{\partial x^{\mu }}{\partial x^{{\nu }^{\prime }}}$

Bektoreen transformazioa

Bi erreferentzia-sistemen arteko abiadura erlatiboa ez bada $x{x}^{\prime }$ ardatzen paraleloa edo koordenatuen ardatzak ez badira elkarren paraleloak (baina $t=t^{\prime }=0$ unean bi jatorriak puntu berean badaude), hurrengoa dugu Lorentz-en transformazioa:

$\{\begin{array}{c}{x}^{0^{\prime }}=\gamma (x^0-\mathit{\beta }\cdot 𝐫)\\ {𝐫}^{\prime }=𝐫+(\frac{\gamma -1}{{\beta }^2}\mathit{\beta }\cdot 𝐫-\gamma x^0)\mathit{\beta }\end{array}$

Kasu honetan ${\mathrm{\Lambda }}_{\nu }^{{\mu }^{\prime }}$ eta ${\mathrm{\Lambda }}_{{\nu }^{\prime }}^{\mu }$ matrizeen elementuak aurreko azpiatalekoak baino konplexuagoak dira, funtzionamendua bera bada ere.

Abiaduren transformazioa

Tetra-abiadurak erreferentzia-sistema bakoitzeko koordenatu espazialen denbora propioarekiko ($\tau$) deribatu gisa definitzen dira:

$u^{\mu }=\frac{d{x}^{\mu }}{d\tau }=(c\frac{dt}{d\tau },\frac{d𝐯}{d\tau })=\gamma (c,𝐯)$

non $𝐯=\frac{d𝐱}{dt}$ eta $\gamma ={(1-\frac{{𝐯}^2}{c^2})}^{-\frac{1}{2}}$diren. Abiaduren transformazioak koordenatuenen antzekoak dira:

$u^{{\mu }^{\prime }}={\mathrm{\Lambda }}_{\nu }^{{\mu }^{\prime }}{u}^{\nu }=\frac{\partial x^{{\mu }^{\prime }}}{\partial x^{\nu }}{u}^{\nu },u^{\mu }={\mathrm{\Lambda }}_{{\nu }^{\prime }}^{\mu }{u}^{{\nu }^{\prime }}=\frac{\partial x^{\mu }}{\partial x^{{\nu }^{\prime }}}{u}^{{\nu }^{\prime }}$

Bektore kontrabariante eta kobarianteak

$x^{\mu }$ eta $u^{\mu }$ tetrabektoreen gisara transformatzen diren $a^{\mu }=(a^0,a^1,a^2,a^3)$ multzoei bektore kontrabariante deritze:

$a^{{\mu }^{\prime }}={\mathrm{\Lambda }}_{\nu }^{{\mu }^{\prime }}{a}^{\nu }=\frac{\partial x^{{\mu }^{\prime }}}{\partial x^{\nu }}{a}^{\nu },a^{\mu }={\mathrm{\Lambda }}_{{\nu }^{\prime }}^{\mu }{a}^{{\nu }^{\prime }}=\frac{\partial x^{\mu }}{\partial x^{{\nu }^{\prime }}}{a}^{{\nu }^{\prime }}$

$a^{\mu }$ bektore kontrabariante bakoitzari $a_{\mu }$ bektore kobariante bat dagokio:

$a_{\mu }={\eta }_{\mu \nu }{a}^{\nu }=(-a^0,a^1,a^2,a^3)=(-a^0,𝐚)$

Hemen ${\eta }_{\mu \nu }$ Minkowski-ren metrika tentsorea erabili dugu, hurrengo moduan definituta:

${\eta }_{\mu \nu }=\left(\begin{array}{cccc}-1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

Arloaren arabera, signatura hau edo kontrakoa (zeinu guztiak alderantzizkatuta) erabiltzen dira.

Ondorio fisikoak

Lorentz-en transformazioak berehalako ondorio garrantzitsuak dituzte.

Aldiberekotasunaren erlatibitatea

$S$ erreferentzia-sisteman bi gertaera, $A$ eta $B$, aldi berean gertatzen badira espazioko posizio ezberdinetan, ez dira aldi berean gertatuko $S^{\prime }$ erreferentzia-sisteman. $t_A=t_B$ badugu, orduan

${t_A}^{\prime }={t_B}^{\prime }+\frac{\gamma v}{c^2}(x_B-x_A)$

Beraz, aldibereko bi gertaera ez badira leku berean gertatzen $S$ erreferentzia-sistema inertzialean, $S$-rekiko abiadura erlatibo ez nuluko $S^{\prime }$ erreferentzia-sistema inertzialean ez dira aldiberekoak izango.

$S$ eta $S^{\prime }$ erreferentzia-sistema inertzialetan $x{x}^{\prime }$ ardatzen paraleloa den hagatxoaren uzkurduraren diagrama.

FitzGerald eta Lorentz-en uzkurdura

Demagun hagatxo bat $S^{\prime }$ erreferentzia-sistema inertzialean pausagunean dagoela, $x$ ardatzaren paralelo. $S^{\prime }$-n bere luzera, luzera propioa, $\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }=L^{\prime }$ neurtzen da. Beste $S$ erreferentzia-sistema inertzial batean luzera neurtzeko aldiune berean ($\mathrm{\Delta }t=0$) hagatxoaren bi muturren posizioak neurtzen dira. Tarteen transformazioa kontuan hartuta, hagatxoaren luzera $S$ erreferentzia-sisteman hurrengoa dugu:

$L=\mathrm{\Delta }x=\frac{L^{\prime }}{\gamma }$

$\gamma >1$ denez $v\ne 0$ denean ($\gamma =1$ $v=0$ denean), behatzailearekiko higitzen den gorputz bat $\gamma$ faktore batez uzkurturik neurtzen da higidura erlatiboaren norabidean. Higidura erlatiboaren perpendikularreko neurriak ez dira aldatzen.

Denboraren zabalkuntza

Era berean, $S^{\prime }$ erreferentzia-sistema inertzialean leku berean ($\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }=0$) dagoen erloju batek bi gertaeren arteko $\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }$ denbora-tarte bat neurtzen badu, beste $S$ erreferentzia-sistema inertzial batean bi gertaera berdinen arteko $\mathrm{\Delta }t$ denbora-tartea neurtzen bada, hurrengo moduan erlazionatuta daude:

$\mathrm{\Delta }t=\gamma \mathrm{\Delta }{t}^{\prime }$

$\gamma >1$ denez $v\ne 0$ denean ($\gamma =1$ $v=0$ denean), behatzailearekiko higitzen den erloju batek neurtutako denbora-tartea $\gamma$ faktore batez handituta neurtzen da.

Ikus, gainera

• Erlatibitate printzipioa
• Erlatibitate berezia
• Galileoren transformazioak
• Erlatibitate orokorra

Kanpo estekak

• MinutePhysics-en bideoa YouTube-n, Lorentz-en transformazioa Minkowski-ren diagrama mekaniko batekin azaltzen eta irudikatzen duena.