Funtzio hiperboliko

Jatorritik igarotzen den zuzenerdi bat $x^2-y^2=1$ hiperbola ebakitzen du $(\cosh a,\sinh a)$ puntuan, non $a$ zuzenerdiak, abzisen ardatzerdiak eta hiperbolak zedarritutako azaleraren bikoitza da. $X$-ardatzaren azpiko hiperbolako puntuetarako azalera negatibotzat hartzen da (ikusi bertsio biziduna funtzio trigonometrikoekin (zirkularrak) alderatuta.

Matematikan, funtzio hiperbolikoak ohiko funtzio trigonometrikoen funtzio analogoak dira, baina zirkulu bat hartu beharrean erreferentziatzat, $x^2-y^2=1$ hiperbola hartuta. Matematikako eta fisikako adar batzuetan garrantzia dute.

Adierazpen analitiko estandarrak

sinh, cosh eta tanh

csch, sech eta coth

(a) cosh(x) e^x eta e^−x-ren batezbestekoa da.

(b) sinh(x) e^x eta e^−x-ren kenduraren erdia da.

Funtzio hiperbolikoak hauek dira:

• Sinu hiperbolikoa:

$\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\frac{e^{2x}-1}{2e^x}=\frac{1-e^{-2x}}{2e^{-x}}$.

• Kosinu hiperbolikoa:

$\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\frac{e^{2x}+1}{2e^x}=\frac{1+e^{-2x}}{2e^{-x}}$.

• Tangente hiperbolikoa:

$\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}=\frac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}$.

• Kotangente hiperbolikoa:

$\coth x=\frac{\cosh x}{\sinh x}=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}=\frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1}=\frac{1+e^{-2x}}{1-e^{-2x}}$

• Sekante hiperbolikoa:

$\mathrm{sech}x=\frac{1}{\cosh x}=\frac{2}{e^x+e^{-x}}=\frac{2e^x}{e^{2x}+1}=\frac{2e^{-x}}{1+e^{-2x}}$

• Kosekante hiperbolikoa:

$\mathrm{csch}x=\frac{1}{\sinh x}=\frac{2}{e^x-e^{-x}}=\frac{2e^x}{e^{2x}-1}=\frac{2e^{-x}}{1-e^{-2x}}$

Funtzio hiperbolikoak angelu irudikarien bidez ere defini daitezke:

• Sinu hiperbolikoa:

$\sinh x=-i\sin (ix)$

• Kosinu hiperbolikoa:

$\cosh x=\cos (ix)$

• Tangente hiperbolikoa:

$\tanh x=-i\tan (ix)$

• Kotangente Hiperbolikoa:

$\coth x=i\cot (ix)$

• Sekante hiperbolikoa:

$\mathrm{sech}x=\sec (ix)$

• Kosekante hiperbolikoa:

$\mathrm{csch}x=i\csc (ix)$

non i unitate irudikari baita, propietate honekin: Txantiloi:Nowrap.

Goiko definizioetako forma konplexuak Eulerren formulatik datoz.