Batura zuzen

Algebra abstraktuan, batura zuzena egitura algebraiko bateko elementuen arteko eragiketa mota bat da. Egitura bakoitzean (talde abeldar, bektore espazio, modulu...) definizio ezberdin bat du baina denek dute zerbait amankomunean: Egituraren elementu bakoitzak adierazpen bakarra du hau eratzen duten azpiegituren elementuen eragiketa gisa.

Batura zuzena $\oplus$ ikurrarekin adierazten da:

• $A$ eta $B$ bi egitura izanik, bien arteko batura zuzena $A\oplus B$ da.
• $A_i$ egiturako indezedun familia bat izanik, non $i\in I$ finitua den, batura zuzena $\underset{i\in I}{⨁}{A}_i$ da.

Batura zuzena egitura algebraiko bereko nahi adina batukari kopuru finiturekin egin daiteke, hala nola, $A\oplus B\oplus C$. Honek oinarritzat batura zuzena elkarkorra dela du, hau da, $(A\oplus B)\oplus C\cong A\oplus (B\oplus C)$.

Adibidea

Plano kartesiarra, bi dimentsiodun bektore-espazioa, x ardatza eta y ardatza deituriko dimentsio bakarreko bi bektore-espazioren batura zuzena dela esan genezake eta $ℝ\oplus ℝ$ bezala adierazi, $ℝ$ kordenatu-espazio erreala izanik, eta bikote ordenatuen bidez adierazten da $(x,y)$. Batura zuzen honetan x eta y ardatza koordenatu jatorrian (0,0) soilik elkartzen dira eta eragiketak koordenatuka definituta daude. Adibidez, batura: $(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2)$

Bi azpiespazio bektorialen batura zuzena

V espazio bektorialaren bi azpiespazio bektorial izanik (U eta W), bi hauen arteko batura zuzena dela esten da eta $U\oplus W$ adierazi, bien arteko ebakidura nulua bada, hau da, $U\cap W=0$ bada. Kasu honetan ondoko propietateak betetzen dira:

• $dim(U\oplus W)=dim(U)+dim(W)$
• $\mathrm{U}$-ren oinarri bat $W$-ren oinarri batekin elkartuz gero, $U\oplus W$-ren oinarria lortzen da
• $U\oplus W$-ko $v$ bektore bakoitzak deskonposizio bakarra du $u+w$ moduan, $u\in U$ eta $w\in W$ izanik.