Matrize persimetriko

Matematikan, matrize persimetrikoa honako hau izan daiteke:

1. matrize karratua goiko eskuinetik beheko ezkerrerako diagonalarekiko simetrikoa dena; edo
2. matrize karratua diagonal nagusiarekiko perpendikularrak diren lerroetako balioak berak dira lerro jakin batekiko.

Lehenengo definizioa ohikoagoa da gaurko liburuetan. "Hankel matrize" izena gehiagotan erabiltzen da bigarren definizioa betetzen duten matrizeetarako.

1. Definizioa

Izan bedi A = (a_i⁣j) n × n matrize bat. Matrize persimetrikoaren lehenengo definizioak honako hau behar du

$a_{ij}=a_{n-j+1,n-i+1}$ i, j guztietarako.

Adibidez, 5x5 matrize persimetrikoek itxura hau dute:

$A=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}& a_{15}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}& a_{14}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{23}& a_{13}\\ a_{41}& a_{42}& a_{32}& a_{22}& a_{12}\\ a_{51}& a_{41}& a_{31}& a_{21}& a_{11}\end{array}\right).$

Hori honela ere adieraz daiteke: AJ = JA^T non J trukatze-matrizea den.

Matrize simetrikoa matrize karratu bat da goiko ezkerretik beheko eskuinerako diagonalarekiko simetrikoa dena. Matrize simetrikoa 90° gradu biratzen bada, matrize persimetriko bihurtzen da. Matrize persimetriko simetrikoei batzuetan matrize bisimetrikoak esaten zaizkie.

2. Definizioa

Bigarren definizioa Thomas Muirri zor diogu. hark esan zuen A = (a_ij) matrize karratua persimetrikoa dela baldin a_ij i + j mende bada. Matrize persimetrikoek zentzu horretan, edo Hankel matrizeak ere deitzen ohi direnez, itxura hau dute:

$A=\left(\begin{array}{ccccc}{r}_1& r_2& r_3& \cdots & r_n\\ r_2& r_3& r_4& \cdots & r_{n+1}\\ r_3& r_4& r_5& \cdots & r_{n+2}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ r_n& r_{n+1}& r_{n+2}& \cdots & r_{2n-1}\end{array}\right).$

Determinante persimetrikoa matrize persimetrikoaren determinantea da.

Matrizea diagonal nagusiarekiko lerro paraleloetako balioak konstanteak dituena, Toeplitz matrizea deitzen da.