Oinarri (aljebra)

Plano kartesiarrean oinarri estandarra (bektore urdin eta laranjek sortua). Bektore berdea, edozein izanik ere, modu bakarrean deskonposa daiteke beste bi bektoreen arabera.

Aljebra linealean, $K$ gorputz baten gaineko $V$ espazio bektorial baten $\beta$ oinarria, ondorengo baldintzak betetzen dituen $V$-ren azpimultzo bat da $(\beta \subseteq V)$

• $\beta$ oinarriko elementu guztiak $V$ espazio bektorialean daude.
• $\beta$ -ko elementu guztiak linealki independenteak dira.
• $V$ espazio bektorialeko elementu guztiak oinarriko elementuen konbinazio lineal gisa idatz daitezke (hau da, $\beta$ , $V$-ren sistema sortzailea da).

Zornen lema

Zorn-en lema erabiliz, ikus daiteke bektore-espazio guztiek oinarribat dutela. Espazio bektorial batek oinarri bat baino gehiago izan dezakeen arren, betetzen da espazio bektorial bereko bi oinarrik kardinaltasunbera dutela. Hala, kardinaltasun horri espazio bektorialaren dimentsioa deituko zaio.

Zornen lemaren ondorioz, ondoko beste propietate batzuk ditugu:

• Espazio bektoriala sortzen duen sistema orok base bektoriala du.

• Bektore-espazio batean linealki independentea den multzo orooinarri batera zabal daiteke.

Ohar gehigarriak

1. Oinarriak multzo ordenatuak dira. Hau da, nahiz eta eremu bektorial bera sortzen duten {a,b,c} eta {b,a,c} -k, oinarriak ez dira berdinak.
2. $V$ dimentsio finituko espazio bektoriala bada, bere oinarri guztiak finituak izango dira eta elementu kopuru bera izango dute
3. $v$ bektore bat eta $V$espazio bektorial baten $\beta$ oinarri bat emanda, $v$ bektorea $\beta$ oinarriko elementuen konbinazio lineal gisa idazteko modu bakarra dago, hau da, bektore batek oinarri batean duen irudikapena bakarra da.
4. Aurreko behaketatik ondorioztatzen da oinarriak ez direla bakarrak. Oro har, bektore-espazio baterako infinitu oinarri egon ohi dira. Adibidez, $V={ℝ}^3$ espazioa badugu, bere oinarri sinpleena ondokoa da:

$\mathcal{\beta }=\{(1,0,0);(0,1,0);(0,0,1)\}$

${ℝ}^3$-ren oinarri kanoniko deritzo. ${ℝ}^3$-ko beste oinarri batzuk, adibidez:

$\{\begin{array}{c}{\mathcal{\beta }}^{\prime }=\{(2,0,0);(0,1,0);(0,0,1)\}\\ {\mathcal{\beta }}^{″}=\{(1,1,1);(1,1,0);(1,0,0)\}\\ {\mathcal{\beta }}^{‴}=\{(504,0,0);(0,7,0);(0,0,1/2)\}\end{array}$

Oro har, ${ℝ}^3$-ren oinarri guztiak linealki independenteak diren ${ℝ}^3$-ko hiru bektorez osatuta egongo dira.

Oinarri eta koordenatu aldaketak

Lehen aipatu dugun bezala,  espazio bektorial batean oinarri desberdinak har daitezke. Demagun, $\beta$  eta ${\beta }^{\prime }$ $V$-ren bi oinarri direla, baina zer erlazio dago $\beta$-rekiko eta ${\beta }^{\prime }$-rekiko $v$ $V$-ko bektore baten koordenatuen artean? Galdera honi erantzun ahal izateko, matrizeak erabiliko ditugu, eta horregatik koordenatuak zutabe-matrize bezala idatziko ditugu. Horrela $v=(x_1,...,x_n{)}_{\beta }$ baldin bada, eta $X=(\genfrac{}{}{0ex}{}{x_1}{x_n})$ bada, $X$  $\beta$ oinarriarekiko $v$-ren koordenatuen zutabea da. Beraz, $\beta =(v_1,...,v_n)$ bada,$v=(x_1,...,x_n{)}_{\beta }=x_1{v}_1+...+x_n{v}_n=(v_1...v_n)(\genfrac{}{}{0ex}{}{x_1}{x_n})$  da, edo beste modu batean, $v=(v_1...v_n)X$.

Oinarri aldaketarako matrizea

Oinarri batetik beste oinarri batera aldatu nahi bada, matrizeak erabili behar dira eta matrize horri, oinarri aldaketarako matrizea deitzen zaio ,hain zuzen ere.$\beta$ -tik ${\beta }^{\prime }$-rako oinarri aldaketaren matrizea  tamainako matrize karratu bat da eta bere zutabeak ${\beta }^{\prime }$-ko bektoreen koordenatuak $\beta$ oinarriarekiko izanik.

Hona hemen adibide bat:

Demagun,  $V={ℝ}^2$espazioa dugula, $\beta =\{(1,0);(0,1)\}$ oinarri kanonikoa eta ${\beta }^{\prime }=\{(1,0);(1,1)\}$ oinarria ditugula. Egin dezagun, $\beta$-tik ${\beta }^{\prime }$-rekiko matrize oinarri aldaketa. Horretarako,  ${\beta }^{\prime }$oinarriko bektoreak $\beta$-rekiko jarriko ditugu. Ondoren, koordenatuak matrizean jarriz:

$(1,0)=1(1,0)+0(0,1)$

$(1,1)=1(1,0)+1(0,1)$ eta matrizea honako hau izanik:$P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ .

Nahiz eta, $\beta$oinarri kanonikoarekin egin dugun, beste edozein oinarrirekin egin daiteke, nahiz eta beharbada, prozesua luzeagoa izan, ikus dezagun beste adibide bat:

Demagun, $V={ℝ}^2$ espazioa dugula, ${\beta }^{\prime }=\{(1,0);(1,1)\}$ lehen genuen oinarria eta ${\beta }^{″}=\{(3,2);(1,0)\}$ oinarria. Egin dezagun, ${\beta }^{″}$-tik ${\beta }^{\prime }$-rekiko matrize oinarri aldaketa. Lehen egin bezala,  ${\beta }^{\prime }$oinarriko bektoreak ${\beta }^{″}$-rekiko jarriko ditugu.

$(1,0)=0(3,2)+1(1,0)$

$(1,1)=1/2(3,2)-1/2(1,0)$ eta matrizea honako hau izanik :$M=\left(\begin{array}{cc}0& \frac{1}{2}\\ 1& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$